Problema 12 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Las matrículas actuales de los coches usan un código de cuatro cifras (desde el 0000 al 9999), seguido de tres letras (desde el BBB al ZZZ).

Por diferentes razones sólo se usan estas 20 letras: B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, R, S, T, V, W, X, Y, Z.

En un determinado momento se matriculó el coche 2020CCC.

Cuando llevaban matriculados exactamente el doble de vehículos que en ese momento ¿cuál era la matrícula del último matriculado?
Solución:

Lo primero que debemos hacer es calcular en una base que nos sea cómoda el número de vehículo desde el inicio de la matriculación.

Cada 10 000 números cambia la letra, y, puesto que la C es la segunda letra de 20, los primeros vehículos llevan la combinación BBB, después BBC, y así sucesivamente, hasta que 20·10 000 = 200 000 vehículos empezarían esas combinaciones con BB. A partir del siguiente, empezarían con BCB.

Por lo tanto, hay 20·20·10 000 = 4 000 000 vehículos que empiezacn por B. Los que nos interesan comienzan a partir del siguiente, pero ese llevará 0000 CBB.

Hay que añadir 200 000 más hasta llegar al último CBZ y pasar después al primer CCB, y 10 000 más para llegar al último CCB. Llevamos en total 4 210 000.

Contando 2020 más, llegaríamos al vehículo que nos interesa, el 2020 CCC, que sería el número 4 212 020.

Podríamos observar que las últimas cuatro cifras corresponden al 2020, y que el número de cambios de letra sería 20·20 + 20 + 1 = 421. Esto último se denomina “contar en base 20”, y corresponde a las “cifras” 111 (CCC en el sistema de matriculación).

Por lo tanto, deberemos dejar pasar otra cantidad igual, que sería el 8 424 040. Como los números van de 10 000 en 10 000, los números que corresponden a la matrícula que buscamos son el 4040, pero el número total de cambios de letras es 842.

Cada uno de los cambios de la primera letra se produce, como hemos visto, cada 20·20 = 400, por lo que se han realizado 2 cambios, y la primera letra será una D. Descontada ésta, nos quedan 42 cambios, por lo que se habrán realizado 2 cambios de letra en la segunda (2·20 = 40), y también será una D. Por último, los últimos 2 cambios de letra nos habrá llevado a una letra D en la última.

Así, la matrícula de este vehículo “doble” será 4040 DDD. En cierto sentido, hemos multiplicado “por 2” la matrícula inicial, entendiendo que la C juega el papel de 1 y la D de 2.