Problema 4 de la fase nacional de la 56 Olimpiada Matemática Española (2020)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Ana y Benito juegan a un juego que consta de 2020 rondas.

Inicialmente, en la mesa hay 2020 cartas, numeradas de 1 a 2020, y Ana tiene una carta adicional con el número 0.

En la ronda k-ésima, el jugador que no tiene la carta k – 1 decide si toma la carta k o si se la entrega al otro jugador.

El número de cada carta indica su valor en puntos.

Al terminar el juego, gana quien tiene más puntos.

Determina qué jugador tiene la estrategia ganadora, o si ambos jugadores pueden forzar el empate, y describe la estrategia a seguir.
Solución:

En estos problemas en los que hay un juego de estrategia, siempre hay que empezar por probar versiones más pequeñas, y explorarlos desde el final hacia atras.

Por ejemplo, si sólo hubiese una carta, está claro que B elegiría quedarse con la carta 1.

Si hubiese dos cartas, evidentemente, B elegiría darle el 1 a A, ya que le volvería a tocar decidir quién se queda con el 2 y le resultaría ventajoso quedárselo.

Sin embargo, el juego se complica para el caso en que hay tres cartas sobre la mesa.

Como 3 = 2 + 1, se iguala el valor de la última carta con la suma de las dos.

El jugador que no tiene el 2, se queda con la carta más valiosa, por lo que a nadie le interesa tener el 2.

Por lo tanto, si B debería toma el 1, A entonces le debería dar el 2 y así poder empatar. Es decir, los dos empatarían. Si por el contrario B le da el 1 al A, el A le puede dar el 2 a B y ganarle. Por lo tanto, se daría siempre la primera trayectoria.

De forma similar, si tenemos 4 cartas, de nuevo la última resulta decisiva (salvo que saque una ventaja de 4 o mayor), así que nadie quiere tener el 3, y por lo tanto se puede dar las siguientes situaciones. Si B se queda con el 1, A se debe quedar con el 2, ya que si le da el 2 acabará renunciando a 3 o a 4 y ganará B, pero entonces B le da el 3 para quedarse con el 4 y empatar. Si, por el contrario, B le da el 1 a A, la situación es totalmente simétrica y ambos acabarán empatados.

Fijémonos en este punto. Con 4 cartas, ambos tienen una estrategia de empate y ninguno gana salvo que juegue mal.

Imaginemos que quedan 4 cartas y hay una ventaja de k puntos para A. Las cartas serían m, m + 1, m + 2 y m + 3.

Jugando con la misma lógica, puesto que m + m + 3 = m + 1 + m + 2, la diferencia quedaría igual hiciese lo que hiciese, es decir, que cuando toque jugar la carta 2016 ya estará todo decidido. De la misma forma, cuando toque jugar la carta 2012, y así sucesivamente.

De forma que lo mejor que pueden hacer es empatar, ambos tienen la estrategia adecuada para que cada 4 cartas sigan empatados, y cómo empiecen las siguientes 4 es indiferente, ya que volverían a empatar. Si alguno de los dos juega mal y acaba perdiendo una ronda de 4 cartas, el otro puede forzar la situación para mantener esta diferencia hasta el final.

Cada 4 cartas, entonces, el que se quede con la carta 4n + 1, renunciará a la 4n + 2, y el poseedor de la 4n + 1 cederá la 4n + 3 al otro jugador para poder tomar la 4n + 4, y así sumar ambos 8n + 5 y así sucesivamente.

Por ser 2020 múltiplo de 4, ambos tendrán esa estrategia para empatar como mejor opción. Habría sido diferente si el número no hubiese sido múltiplo de 4, tal vez habría sido más interesante, ya que una ventaja cuando falte un múltiplo de 4 sería decisiva.