Problema 3 del nivel A fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

En un cierto tipo de triángulos, un ángulo es 30º más grande que la media de los otros dos.

Los tres ángulos miden una cantidad entera de unidades en grados sexagesimales.

¿Cuánto puede medir como máximo un ángulo en ese tipo de triángulos?

Solución:

Puesto que los tres ángulos deben sumar 180º, podemos hacer varias cosas (recurrir al álgebra, tantear y razonar lo que pueden variar) para calcular algún ejemplo.

Si recurrimos al álgebra, los dos ángulos restantes deben medir x e y, y la condición es que el ángulo que nos han indicado debe medir 30 + (x + y )/2, y además, 30 + (x + y)/2 + x + y = 180.

Esto significa que, quitando denominadores, 60 + (x + y) + 2x + 2y = 360, con lo que 3x + 3y = 300, es decir, que x + y = 100. Esto significa que los otros dos ángulos deben sumar 100º, y el ángulo que mide 30º más que la media de los otros, debe medir 80º.

Otra forma de encontrarlo es pensar de la siguiente forma: Si los otros ángulos fueran iguales, la media sería el valor de uno de ellos, por lo que el otro ángulo sería 30º mayor. Puesto que los tres deben sumar 180º, la suma de tres veces los ángulos iguales debería sumar 150º, es decir, los ángulos iguales deberían ser 50º y el desigual 80º. Ahora bien, si aumentamos uno de los de 50º sin que varíe la media, debemos añadirle una cantidad a él y restársela al otro, luego tienen que seguir sumando 100º, mientras que el otro seguiría valiendo 30º más que la media, cosa que no puede suceder si varía esta media.

El caso es que nos demos cuenta de que, en esta familia de triángulos, un ángulo siempre mide 80º y los otros dos suman 100º.

Usando ahora cantidades enteras de grados, el valor mayor que puede tomar uno de estos ángulos es claramente 99º. En ese caso, el otro valdría 1º y el tercero 80º.