Problema 5 del nivel C fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

A una isla llegan los 17 piratas del barco de John Sparrow para repartirse un botín que consiste en un saco con más de 100 monedas de oro.

Cuando está hecho el reparto, sobra una moneda.

Para que no sobre nada, los piratas deciden matar a uno de ellos y volver a hacer el reparto.

Hecho esto, sigue sobrando una moneda.

a) ¿Cuál es el menor número de monedas que contiene el cofre?

b) Una vez que conozcas el número mínimo, en caso de que sigan sobrando monedas al repartir, imagina que siguen matando piratas hasta que el reparto suponga un número exacto de monedas para cada uno de los piratas que sobrevivan. ¿Cuántos piratas deben morir hasta que puedan efectuar el reparto de forma precisa?

Solución:

La idea principal es que habría sido mucho más fácil deshacerse de una moneda en lugar de ponerse a matar piratas. Si hubiésemos renunciado a una moneda, el número de monedas restante habría sido divisible tanto entre 17 como entre 16.

Puesto que ambos números no tienen un divisor común, debe ser divisible por el producto (16·17 = 272).

El número más pequeño para el que ocurre esto es, evidentemente, 273.

Ahora bien, tampoco este número es divisible entre 15, ni entre 14, pero sí es divisible entre 13, es decir, que sólo deberían matar 4 piratas para poder repartir las monedas, y tocarían a 21 monedas exactamente.