Problema 4 del nivel C fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021
Se dirige a una edad de: 10-11 años

Tenemos 7 focos apagados alrededor de un círculo.

Los focos están numerados del 1 al 7.

Samuel se pone a dar vueltas al círculo, comenzando por el foco 1, y acciona el interruptor (que tiene dos posiciones, encendido y apagado) de cada foco de manera alterna, es decir, uno sí y otro no.

Después de 2021 vueltas ¿qué focos estarán encendidos y cuáles estarán apagados?

Solución:

La idea primera que se tiene que ocurrir en este tipo de problemas es descubrir qué pasa en las primeras vueltas, y descubrir si hay o no un patrón.

Al acabar la primera vuelta, tal y como nos lo describen, estarán encendidos los focos 1, 3, 5 y 7, ya que los otros no los habrá tocado, y seguirán apagados.

Tras la segunda, nos encontramos que Samuel ha encendido exactamente los que antes estaban apagados, así que todos estarán encendidos.

Tras la vuelta tercera, estarán encendidos sólo los focos 2, 4 y 6, ya que los impares volverán a su estado apagado.
Tras la cuarta, todos están apagados.

Evidentemente, al final de la quinta, vuelve a la misma situación que había después de la primera, es decir, que cada cuatro vueltas vuelve al mismo estado exactamente.

Para conocer el estado en el que estarán tras la vuelta 2021, hay que dividir 2021 entre 4 y ver qué resto tiene, ya que cuatro vueltas antes estaría en el mismo estado, y así sucesivamente.

Como 2021 = 4·505 + 1, resultará que ha dado cuatro vueltas 505 veces, y el estado será el mismo que tras la primera vuelta, y la quinta, y la novena. Sólo los focos numerados con un número impar (1, 3, 5, y 7) están encendidos y los pares (2, 4, y 6) apagados.