Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un número n de siete cifras es bonito si se puede expresar como la suma de dos números de siete cifras s y t, tales que todas las cifras de s son impares y todas las cifras de t son pares.

Determinar cuáles de los siguientes números son bonitos:

6204773, 6372538, 7343053, 8993267, 9652393.

Solución:

En principio, lo único que tenemos que emplear en este problema es el algoritmo de la suma y la propiedad que indica que cuando sumamos un número par y un impar, da como resultado un número impar.

Mirando las cifras de los números s y t que suman n, todos los resultados parciales de la suma deberían ser impares, luego si aparece en n un dígito par debe ser resultado de un acarreo, es decir, que la suma de las cifras que están a la derecha deben sumar más de 10. Puesto que sólo vamos a sumar dos números, el acarreo es a lo sumo 1.

Por ejemplo, tomemos 6204773. Descompongamos el número en dígitos de izquierda a derecha.

Primero encontramos un 6, por lo que de existir estos valores s y t, los dígitos correspondientes deben sumar 5 y en la siguiente posición debe exceder a 10.

En segundo lugar, un 2, por lo que los dígitos de s y t deben sumar 11 y en la posición siguiente deben exceder a 10.

En tercer lugar, un 0, por lo que los dígitos de s y t deben sumar 9 y en la posición siguiente exceder a 10.

En cuarto lugar un 4, luego los dígitos deben sumar 13 y la siguiente exceder a 10.

En quinto lugar un 7, luego deben sumar 17 los dígitos (necesariamente deben ser un 8 y un 9).

En sexto lugar un 7, luego deben sumar 7.

En séptimo lugar un 3, luego deben sumar 3.

No hay ninguna contradicción, por lo que podemos encontrar varios números s y t, por ejemplo 6204773 = 2646842 + 3557931, luego es bonito.

Procediendo de similar manera con los otros, veamos qué ocurre.

Para 6372538, las últimas cifras deberían sumar 8, cosa que es imposible si una de ellas es impar y la otra par. Luego 6372538 no es bonito.

Para 7343053, las primeras deben sumar 7, las segundas 3, las terceras 3, las cuartas 13, las quintas deben sumar ¡0!. No es posible, ya que no se puede conseguir un cero salvo que la cifra a la izquierda sea par y por lo tanto tengamos que tener un acarreo de 1, y sumemos por tanto 9 + 1 = 10, como en el caso anterior. Luego 7343053 no es bonito.

Para 8993267, las primeras deben sumar 7, las segundas deben sumar 19, lo que no es posible, ya que una cifra par y otra impar a lo sumo suman 17. Luego 8993267 no es bonito. Por tanto, tampoco es posible que un número bonito tenga una cifra 9 con un dígito par a la izquierda, debido a que en ese caso los dos dígitos deben sumar 19 sin acarreo, cosa imposible.

Por último, para 9652393, las primeras cifras deben sumar 9, las segundas 5, las terceras 15, las cuartas 1, las quintas 13, las sextas 9 y las séptimas 3. Por ejemplo, 9652393 = 4280642 + 5371751, luego es bonito.