Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes mañana)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un grupo de 12 piratas de edades diferentes se reparte 2022 monedas, de manera que cada pirata (salvo el más joven) tiene una moneda más que el siguiente más joven.

A continuación, cada día se procede de la siguiente manera: se escoge un pirata que tenga al menos 11 monedas y ese pirata da una moneda a todos los demás.

Encontrar el mayor número de monedas que un pirata puede llegar a tener.
Solución:

Se puede tantear con un número pequeño de piratas y de monedas para comprobar qué sucede y cuál es la acumulación máxima que se puede producir.

Lo primero que hay que tener en cuenta es qué nos está pidiendo el problema. Evidentemente, el punto de partida queda condicionado por cuánto recibe el pirata más joven, ya que cada uno de los demás recibe una moneda más que el siguiente más joven.

Así, el número de monedas recibidas por cada uno formará una progresión aritmética de diferencia 1.

Es sencillo (aunque en rigor puede que no sea totalmente necesario) encontrar si esto es o no posible, por ejemplo, relacionando 2022 con la suma de una progresión aritmética, o bien buscando cuál es el reparto medio (168,5) y construyendo a partir de ahí cuántas monedas tiene cada uno, 163 el más joven y 174 el más viejo.

A partir de ahí, hay varias maneras de proceder. En realidad, al pedirnos el mayor número de monedas que un pirata puede obtener, se nos está pidiendo que obtengamos el número mayor en un hipotético procedimiento de redistribución a partir del momento inicial, es decir, en el caso de que ningún pirata perdiera ninguna moneda y el procedimiento se repitiera indefinidamente, en un orden arbitrario.

Pensemos que hay que demostrar que el número que digamos es alcanzable, y que no se puede alcanzar otro mayor.

Es evidente que si cada uno de los piratas (excepto el mayor) reparte 11 monedas entre los demás, empezando por el que más tiene, y acabando por el que menos tenía, resultará que todos ellos quedan con una moneda menos, y el mayor con 11 más.

Repitiendo el proceso hasta que todos ellos queden con menos de 11 monedas, tendremos que quedan con 0 – 1 – 2 – 3… 9 – 10 monedas, y el mayor tendrá 1967 monedas. El proceso no puede continuar sin descender entonces de ese número, así que es posible que sea el máximo. Al menos, es posible alcanzarlo.

Observamos que no puede darse que haya dos piratas con 0 monedas, ya que el último que haya repartido ha dado una moneda a todos los demás. Tampoco puede haber tres piratas con 1 o menos monedas, ya que requeriría que en el paso anterior hubiese dos piratas con 0 monedas. Recursivamente, si tenemos un número p menor que 12, es imposible que haya p + 1 piratas con p o menos monedas, debido a que es necesario que en el paso anterior haya p piratas con p – 1 monedas o menos monedas (con al menos 12 monedas evidentemente hay 12 piratas, y no puede haber más de 12). Y eso quiere decir que no puede ser que se alcance un número mayor que el 1967 predicho.

Hay un detalle que soluciona ambos procesos en un único razonamiento, ya que si estudiamos las cantidades que tienen los piratas módulo 12, inicialmente están presentes todos los posibles restos, por ser números consecutivos. Cuando un pirata reparte 11 monedas, su valor módulo 12 aumenta en 1, mientras que al recibir una moneda, también lo hacen todos los demás, con lo que en cada iteración siguen presentes todos los posibles valores. Por tanto, sea el proceso que sea, el mayor valor de concentración que se puede alcanzar, una vez que ninguno de los piratas pueda repartir excepto uno, será el que hemos afirmado.

Es interesante (aunque no sea necesario) comprobar que para que esto suceda así, en un caso pequeño, es necesario que estén todos los restos. Si partimos de una situación que no estén todos los restos (por ejemplo, 4 piratas y cantidades como 3, 5, 7, 9, en la que sólo hay dos restos al dividir entre 4, la mejor concentración es 0 – 2 – 2 – 20, no es alcanzable 0 – 1 – 2 – 21, ya que tienen que estar presentes únicamente dos restos módulo 4).