Problema 6 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Enrique y Francisca deben subir una larga escalera mecánica que está en marcha.

Como tienen prisa, mientras funciona la escalera, ellos avanzan más rápido porque van subiendo escalones de uno en uno.

Enrique sube escalones tres veces más rápido que Francisca.

Cuando llegan arriba del todo, Enrique ha subido e escalones, y Francisca ha subido f.

¿Cuántos escalones habrían tenido que subir si la escalera hubiese estado parada (en función de esos dos valores)?

Nota: los concursantes recibían dos valores concretos, diferentes para cada persona.
Solución:

A mí me ha resultado un ejercicio complicado, he probado varios enfoques y el que voy a explicar es el único que me ha parecido aceptable.

Ni siquiera me ha servido mi método habitual de convertir en álgebra. He tenido que improvisar más de la cuenta.

Sabemos que la velocidad a la que sube escaleras Enrique el el triple que Francisca, así que cuando acaba de subir Enrique, ha subido e escalones él y el resto de escalones hasta el total de la escalera le llamamos p (que se los ha evitado subir el movimiento de la propia escalera). Por tanto, el total de escalones de la escalera será e + p.

Ahora, he usado una variable auxiliar que he llamado a = e/3. Vendría a ser la cantidad de escalones que ha subido Francisca en el momento en que Enrique llega arriba. Tenemos que 3a + p es el total de escalones de la escalera si estuviese parada, y en ese momento Francisca lleva subidos a + p.

A continuación, resulta que Francisca sigue subiendo en la misma proporción los 2a escalones que le faltan.

Supongamos que el tiempo que le falta es una fracción h del tiempo que lleva subiendo, así tendremos que h(a + p) = 2a.

De esta forma, francisca ha subido a + ha = (1 + h)a escalones, es decir f = (1 + h)a, y como sabemos que a = e/3, tenemos que 1 + h = f/a = 3f/e, así que h = (3f – e)/e.

Ahora, como tenemos que h(a + p) = 2a, deducimos que hp = 2a – ha = (2 – h)a, luego p = (2 – h)a/h. Por tanto p = (2 – (3f – e)/e)·e/3/((3f – e)/e) = (2e – 3f + e)e/(9f – 3e) = (3e – 3f)e/(9f – 3e) = (e – f)e/(3f – e).

Y el total de escalones en caso de estar parada la escalera sería e + p = e + (e – f)e/(3f – e) = e(1 + (e – f)/(3f – e)) = e(2f)/(3f – e) = 2ef/(3f – e).

Para estar seguro de que las cosas iban bien, he trasteado un poco con las fórmulas (ha venido muy bien porque había cometido un serio error con el álgebra, que ahora ya está corregido), probando varios valores, obteniendo, por ejemplo, el caso en que e = 12 y f = 8, en el que la escalera tiene un total de 16 escalones. En ese caso, Enrique sube 12 de los 16 escalones en el tiempo en el que la escalera apenas sube 4. En ese momento, Francisca lleva subidos 4 (y 4 la escalera en modo automático). Puesto que la escalera y Francisca seguirán subiendo al mismo ritmo, y han subido 8 de los 16 escalones, le faltan otros 8, luego subirá, efectivamente 8 ella y 8 la escalera.

Otro ejemplo, e = 15 y f = 6. La escalera sale con 60 escalones. Cuando acaba de subir Enrique, la escalera le ha subido 45 escalones. Francisca lleva subidos 5 de los 50 que lleva en ese momento, sólo le falta una pequeña fracción, el 20% de la escalera, así que subirá el 20% de los 5 que lleva, es decir, 1 más andando, un total de 6.

En definitiva, un problema bastante complejo, pero como siempre muy interesante.