Problema 9 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Un fabricante de tres productos, cuyos precios unitarios son P1, P2 y P3.

Recibe un pedido de Q unidades en total de un detallista, que le transfiere un pago de T euros, que debe satisfacerse exactamente.

El detallista pone la condición de que le envíe el máximo posible del producto más caro (supongamos que es P3), y el resto de los otros productos, de manera que haya al menos uno de cada tipo.

¿Cuántos tiene que enviar de cada tipo para satisfacer el pedido?

(Para fijar los valores con los que se ha de explorar en la búsqueda de la solución, soluciona el problema con los valores P1 = 30, P2 = 45, P3 = 50, Q = 60 y T = 2930 y luego generaliza)

Solución:

Es un problema difícil de manejar, por el número de variables, sin un experimento previo.

Supongamos que tenemos los datos que vienen en el ejemplo: los precios de los productos serían 30 , 45 y 50 por unidad. Nos piden 60 productos en total, con preferencia por productos delos que cuestan 50€, y nos ingresan 2930 que debe coincidir con el pago.

Las ecuaciones que se deben cumplir serían x + y + z = 60, y la ecuación 30x + 45y + 50z = 2930, pero z debe ser lo más grande posible y tanto x como y deben ser mayores o iguales que 1.

Despejando z, que debe ser lo mayor posible, en la primera ecuación, tendremos que z = 60 – x – y, y sustituyendo en la segunda, tendríamos que 30x + 45y + 50(60 – x – y) = 2930, por lo que 30x + 45y + 3000 – 50x – 50y = 2930.

Esta única ecuación con dos variables se puede expresar como 70 = 20x + 5y, y puesto que ambos deben ser mayores que 1, podemos descontar 1 producto de cada, teniendo que 45 = 20(x – 1) + 5(y – 1), que deben dar valores enteros no negativos. Está claro que hay tres únicas soluciones: x – 1 = 0, y – 1 = 9, lo que hace que x = 1, y = 10, z = 49, (x – 1) = 1, y – 1 = 5, con lo que x = 2, y = 6, z = 52, y la opción mejor, que es x – 1 = 2, y – 1 = 1, lo que hace que x = 3, y = 2, z = 55.

Es decir, que puesto que el coeficiente de x es el mayor, debemos tomar el mayor x – 1 posible, siempre que y – 1 sea entero no negativo, para que z sea lo mayor posible.

¿Cómo se plantearía en general?

Las ecuaciones primeras pasarían a ser la ecuación x + y + z = Q, y la ecuación P1x + P2y + P3z = T, y de nuevo haríamos que z = Q – x – y, de donde sustituyendo en la otra ecuación tendríamos que P3·Q – T = (P3 – P1)·x + (P2 – P3)·y, donde el número P3·Q – T siempre es positivo, ya que se supone que nos han ingresado (T) menos dinero del valor de compra de Q objetos de precio P3, ya que en ese caso no se podría satisfacer el pedido.

Se observa que también los coeficientes P3 – P1 y P2 – P1 son positivos, y si la igualdad dada no tiene solución entera estrictamente positiva, no se pueden cumplir todas las restricciones.

De todas las posibles soluciones, optamos por la de mayor valor de x, ya que reduciremos la suma total de x + y, y aumentaremos todo lo posible la variable z.