Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2022 (viernes tarde)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

En una fila hay 2022 personas.

Cada una de ellas, o siempre miente, o siempre dice la verdad.

Todos ellos afirman “Hay más mentirosos a mi izquierda que gente que dice la verdad a mi derecha”.

Determinar cuántos mentirosos hay en la fila.
Solución:

Es un problema que se modela muy bien con una fila par de personas.

Si, por ejemplo, usamos 4 personas, tendríamos dos mentirosos, y dos personas que dicen la verdad, ya que el primero (que no tiene nadie a su izquierda) necesariamente miente, mientras que el primero por la derecha, por tanto, dice la verdad.

De nuevo, el segundo por la izquierda necesariamente miente, pues tiene al menos un mentiroso a la izquierda, mientras que al menos tiene una persona que dice la verdad a su derecha, y por tanto, la segunda por la derecha dice la verdad.
Razonando de la misma forma con 2022 personas, tenemos que habrá 1011 mentirosos, todos ellos situados a la izquierda, mientras que habrá 1011 personas a la derecha que digan la verdad.

Es importante que se justifique debidamente, habiendo varios razonamientos que son suficientes.

Por ejemplo, podemos pensar en inducción, ya que repitiendo exactamente el mismo razonamiento las dos personas más a la derecha y las dos más a la izquierda se comportan de forma idéntica a cuando teníamos 4. Si suponemos que las n personas a la izquierda mienten, y las n personas más a la derecha dicen la verdad, la persona n + 1, con n < 1011, a la izquierda tiene exactamente n personas que mienten a su izquierda y al menos n personas que dicen la verdad a su derecha, con lo que no puede decir la verdad, mientras que la persona n + 1 a la derecha dice necesariamente la verdad, ya que tiene n +1 (al menos ) mentirosos a su izquierda y exactamente n personas que dicen la verdad a su derecha.

Por tanto, al llegar a 1011 mentirosos y 1011 personas que dicen la verdad tendremos identificados a toda la fila.