Problema 10 del concurso Olitele 2021
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Queremos analizar qué estructuras geométricas puede tener un conjunto de puntos del plano con la propiedad de que si calculamos todas las distancias entre cualquier par de puntos del conjunto sólo resulten dos valores.

a) Comencemos por los conjuntos de tres puntos. Si están alineados, razona que el conjunto formado por dos extremos de un segmento y su punto medio cumple la propiedad pedida y ningún otro tipo de conjunto la tiene.

b) Pensemos ahora en los vértices de un triángulo. Si tomamos tres puntos que sean los vértices de un triángulo equilátero, este conjunto no cumple esa propiedad, ya que sólo aparece una única distancia entre todos ellos. Razona si existe o no un triángulo cuyos vértices formen un conjunto con esta propiedad.

c) Estudia qué estructuras pueden tener los conjuntos de 4 puntos del plano que cumplan la propiedad. Trata de indicar un camino para encontrarlas, dibújalas y justifica que cumplen la propiedad.

d) Repite el apartado anterior para conjuntos de 5 puntos.