Problema 3 del concurso Marató de problemes 2022
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Tienes seis listones de longitudes 1 cm, 2 cm, 3 cm, 21 cm, 22 cm y 23 cm.

Quieres escoger tres diferentes para formar un triángulo con los tres que has elegido.

¿Cuántas formas diferentes tienes para hacer la selección de los tres listones?

Solución:

En este caso, la única precaución que tenemos que tener en cuenta es la llamada desigualdad triangular, ya que tres longitudes cualesquiera pueden formar un triángulo siempre que la mayor sea menor que la suma de los otros dos.

Es decir, que si se forma un triángulo, al recorrerlo por los dos lados cortos, debemos medir más longitud que la del otro lado.

Si es exactamente igual, no se forma un triángulo, si no un segmento (a veces se le llama “triángulo degenerado”).

¿Qué combinaciones de esas 6 cifras son válidas?

Buscando la cifra mayor, es evidente que 1, 2 y 3 no son válidas como cifra mayor, pero la de 21 tampoco vale, porque ninguna suma de otros dos más pequeños da más de 5.

Sin embargo, 22 sí podría ser una cifra mayor válida, ya que 21 + 2 = 23, y también 21 + 3. Tenemos, por tanto, dos combinaciones ya, 2 – 21 – 22 y 3 – 21 – 22.

También 23 podría ser el lado mayor, ya que tendríamos las combinaciones 2 – 22 – 23, 3 – 21 – 23 y 21 – 22 – 23.

Por tanto hay sólo 5 combinaciones de listones que pueden formar un triángulo, y ninguna usa el listón de 1 cm.

Si suponemos que se puede admitir triángulos degenerados como válidos, añadiríamos más combinaciones (1 – 2 – 3), (1 – 21 – 22), (1 – 22 – 23) y (2 – 21 – 23), hasta un total de 9.