Problema 5 del nivel A de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Halla la suma de todos los números de 5 cifras distintas que dan lugar al número 3472 al borrarles una cifra.

Solución:

Puesto que ha de contener escrito el 3472, la cifra que borramos debe ser una diferente, que debemos elegir por tanto del conjunto 0 – 1 – 5 – 6 – 8 – 9, formado por las 6 cifras restantes.

Pero esa cifra debe estar en alguna posición. Hay 5 números únicamente con la cifra en primera posición, mientras que hay 6 en cada una de las otras posiciones, en total hay 24 + 5 = 29 de esos números.

Puesto que nos piden la suma de todos ellos, no vamos a sumarlos realmente (aunque teniendo la calculadora, sería posible hacerlo).

Vamos a fijarnos en la última cifra.

Todos tienen un 2, menos los 6 que acaban en una cifra añadida. Por tanto, la suma de la última cifra es 29 + 23·2 = 75.

En la penúltima cifra, la de las decenas, 6 tienen un 2, y otros 6 la cifra añadida. Los 17 restantes tienen un 7, por lo que su suma será 12 + 29 + 17·7 = 160 (pero en las decenas, es decir, suman 1600).

En la antepenúltima cifra, 12 tienen un 7, 6 tienen la cifra añadida y 11 tienen un 4, suman 12·7 + 29 + 44 = 157, es decir, 15700.

La cifra de los millares, 18 tienen un 4, 6 tienen la cifra añadida y 5 tienen un 3, así que suman 18·4 + 29 + 15 = 116 (116000)

Por último, la cifra de las decenas de millar tiene en 24 ocasiones un 3, y el resto la cifra añadida, un total de 24·3 + 29 = 101, 1010000.

La suma total será 1143475.