Problema 5 del nivel B de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Un caprichoso mago vive en un bosque mágico en el que inicialmente hay 800 árboles, 100 abetos y 700 pinos.

Cada noche, el mago elige un único árbol al azar y le aplica un hechizo que lo transforma en la otra especie.

Su hechizo no siempre sale bien, sólo consigue transformar una tercera parte de las veces un abeto en un pino, pero cuando empieza con un pino es peor, sólo la quinta parte de las veces consigue que se transforme en un abeto.

a) ¿Qué es más probable que ocurra la primera noche, que aumenten los abetos, o los pinos en el bosque? (se supone que no pueden haber más de 800 árboles en el bosque, no nacen nuevos, ni tampoco mueren).

b) ¿Y si hubiese 700 abetos y 100 pinos al principio?

c) ¿Con qué cantidad inicial de pinos y abetos la probabilidad de aumentar los pinos o los abetos es la misma?

Solución:

Vamos a ver cuál es la probabilidad de que aumenten los abetos, y la probabilidad de que aumenten los pinos por separado. No sumarán 1, porque por otro lado está la probabilidad de que todo siga igual.

Para que aumente el número de abetos, debe suceder que el mago elija un pino (⅞) y tenga éxito en su conversión (1/5), así que la probabilidad de que sucedan ambas cosas sería de 7/40.

Para que aumente el número de pinos debe suceder que el mago elija un abeto (⅛) y tenga éxito en la conversión (⅓), por lo que la probabilidad de que ambas cosas sería 1/24.

Si comparamos ambas fracciones, o sus equivalentes números decimales, tendremos que es más probable que aumenten los abetos.

Si fuese al contrario, que hubiese 700 abetos y 100 pinos, las probabilidades serían, respectivamente, 1/40 y 7/24, con lo que claramente sería más probable que aumentaran los pinos.

Para que se produzca un equilibrio, llamemos p a la probabilidad de elegir un pino, tendríamos que la probabilidad de aumentar los pinos sería p/5, mientras que la probabilidad de aumentar los abetos sería (1 – p)/3, y, claramente, serían iguales, por lo que 5 – 5p = 3p, con lo que p = ⅝.

En caso de haber 800 árboles, esto sucedería cuando hubiese 500 pinos y 300 abetos. La probabilidad en ese caso de ambas circunstancias sería de 1/8 (y 3/4 la probabilidad de que el bosque se quedase un día más en ese estado.

En ese caso, el trabajo de nuestro caprichoso mago sería bastante inútil, ya que la tendencia sería a permanecer con el paso del tiempo en la misma proporción (todo desequilibrio tendería a deshacerse con el tiempo).