Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Española de Matemáticas 2023 (viernes mañana) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea n >= 3 un entero positivo.
Los primeros n números positivos, 1, 2, … , n se escriben en una pizarra.
María realiza el siguiente proceso tantas veces como se quiera: primero elige dos números en una pizarra, y luego los reemplaza con aquellos que resultan de sumarle a ambos el mismo número positivo.
Determinar todos los enteros positivos n para los que María puede conseguir, repitiendo este proceso, que todos los números de la pizarra sean iguales.
Solución:
Si ensayamos un poco el proceso encontraremos casos como lo que sucede al escribir 3 números:
1, 2, 3, que puede convertirse en
3, 4, 3, y en
4, 4, 4, y ser todos iguales
O por ejemplo, lo que sucede con 4 números:
1, 2, 3, 4
3, 4, 3, 4
4, 4, 4, 4
Para generalizar, podemos tratarlo de la siguiente manera:
Los números impares están comprendidos entre los que María puede igualar, ya que podemos tomar en una primera etapa el número central y cada uno de los números menores, y añadirle lo que sea necesario para que sea igual a su simétrico, es decir, n – 1 a 1 (y al central), n – 3 a 2 (y al central), etcétera. En ese proceso, tendremos una cadena simétrica, en la que todos los números del inicio son idénticos a sus simétricos, y el número central será mucho mayor, ya que habremos sumado a ese número, que originalmente era (n + 1)/2, la progresión aritmética de todos los pares menores que n (que sería (n + 1)(n – 1)/4). Ahora, tomaremos cada una de las parejas y les vamos sumando lo que sea necesario para que sean iguales al central. Con este proceso, tendremos toda la cadena igualada.
1 2 3 4 5
5 2 7 4 5
5 4 9 4 5
9 4 9 4 9
9 9 9 9 9
Los múltiplos de 4 también tienen una estrategia derivada del ensayo con los 4 primeros números: los agrupamos de 4 en 4 de forma consecutiva y le aplicamos la misma táctica: sumamos 2 al primero y al segundo, con lo que serían iguales el primero y el tercero, y el segundo y el cuarto. Ahora, añadiendo 1 al primero y al tercero, los cuatro serán iguales.
p, p + 1, p + 2, p + 3
p + 2, p + 3, p + 2, p + 3
p + 3, p + 3, p + 3, p + 3
A partir de ahí, añadimos por parejas la diferencia con el mayor, n, y vamos haciendo todos iguales a n. Por tanto también los múltiplos de 4 son del tipo de entero que María puede igualar con su proceso.
Por último, quedan aquellos pares que no son múltiplos de 4, como 6.
Diferentes ensayos con los 6 primeros números revelan que no es posible lograrlo con 6, pero hay un detalle en el que nos podemos fijar.
1 2 3 4 5 6
3 4 3 4 5 6
5 4 5 4 5 6
5 5 5 5 5 6
¡Hay uno diferente! Esta claro que cada vez que a dos de ellos les añadimos el mismo número, estamos añadiendo un número par, y que si todos fueran iguales, da un número par, pero si sumamos cinco 5 y un 6, da impar, así que no podremos nunca culminar el proceso.
¿Sucederá eso con todos los números pares que no son múltiplos de 4?
En efecto, los pares no múltiplos de 4 se pueden escribir de la forma 4p + 2. La suma de los 4p + 2 primeros números, que forman una progresión aritmética, sería (1 + 4p + 2)(4p + 2)/2 = (4p + 3)(2p + 1), que es evidentemente un número impar desde el primer momento que los escribimos en la pizarra.
Por tanto, aunque María repita el proceso las veces que quiera, siempre obtendrá una suma total impar, y por tanto nunca serán todos iguales, ya que al ser una cantidad par, al lograrlo deberían sumar una cantidad par.
La conclusión es que los valores de n para los que María puede lograr que todos los números son iguales serán únicamente los números impares y los múltiplos de 4.