Problema 2 del nivel A de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Roberta está practicando el salto de longitud.

La media de las distancias que saltó en los primeros intentos de hoy es de 3,80 m.

En su siguiente intento saltó 3,99, y su media subió hasta 3,81.

¿Qué distancia debe alcanzar en su siguiente salto para aumentar su media a 3,82?

Solución:

Debemos ponernos varios ejemplos sencillos antes de ponernos a intentar adivinar la respuesta.

Si tenemos una determinada media, cada intento por aumentarla cuesta más, porque el número de datos aumenta. Desde luego, va a necesitar un salto algo mayor de 3,99, pero ¿cuánto?

Una visión intuitiva y muy eficaz indica lo siguiente: En un primer lugar, la media funciona como si todos sus saltos previos fuesen de 3,80 m, pero el salto de 3,99 hace que todos los saltos pasen a medir 3,81. Puesto que hay 0,18 entre 3,81 y 3,99, esos centímetros de más se reparten entre los demás saltos para subir 0,01 cada uno, por lo que podemos deducir que habíamos hecho 18 saltos previos.

Ahora, los 19 saltos miden 3,81. Si queremos subir la media a 3,82, necesitamos que el siguiente salto sea de 3,82 más lo que nos hace falta subir entre todos los saltos, es, decir, 3,82 + 0,19 = 4,01.

Si estás familiarizado con el álgebra, y llamamos x al número de saltos, tenemos que (3,80x + 3,99)/(x + 1) = 3,81, de donde deducimos que x = 18, ya que 3,80x + 3,99 = 3,81x + 3,81, es decir, 0,18 = 0,01x y por tanto x = 18.

Dicho de otra forma, el salto de 3,99 es el número 19.

Llamando ahora y a la longitud del último salto, tendríamos que (y + 3,81·19)/20 = 3,82, de donde obtenemos que y = 4,01, ya que y + 72,39 = 76,4, por lo que y = 4,01.