Problema 3 del nivel A de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana Se dirige a una edad de: 12-13 años
Tenemos una máquina que al introducirle un número en la casilla roja nos ofrece otro en la casilla azul.
El número de la casilla azul se transforma en otro que vemos en la casilla amarilla y, finalmente, el número de la casilla amarilla queda transformado en el que vemos en la casilla verde.
Hemos ido haciendo pruebas introduciendo números diferentes y viendo cómo se iban transformando. El problema es que el encargado de anotar los diferentes resultados lo ha hecho de pena, entre la mala letra que tiene y los que ha olvidado anotar, nos faltan varios.
¿Podrías completar la tabla?
Intenta obtener fórmulas para cada una de las casillas al introducir un número cualquiera R.
¿Cuál será la fórmula para ir directamente del número que introducimos en la casilla roja al obtenido en la verde? (por si no se viera la imagen, pongo a continuación una tabla)
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Roja |
Azul |
Amarilla |
Verde |
|
1 |
3 |
2 |
5 |
|
2 |
5 |
10/3 |
9 |
|
3 |
7 |
14/3 |
|
|
4 |
6 |
17 |
|
|
5 |
21 |
||
|
6 |
13 |
||
|
7 |
15 |
10 |
|
|
8 |
34/3 |
33 |
|
|
9 |
19 |
||
|
10 |
21 |
14 |
41 |
|
22 |
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100 |
|||
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R |
Solución:
La mayor parte de los participantes lograron llenar la primera columna de la tabla al observar que se trataba de los números impares:
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Roja |
Azul |
Amarilla |
Verde |
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1 |
3 |
2 |
5 |
|
2 |
5 |
10/3 |
9 |
|
3 |
7 |
14/3 |
|
|
4 |
9 |
6 |
17 |
|
5 |
11 |
21 |
|
|
6 |
13 |
||
|
7 |
15 |
10 |
|
|
8 |
17 |
34/3 |
33 |
|
9 |
19 |
||
|
10 |
21 |
14 |
41 |
|
22 |
45 |
||
|
100 |
201 |
||
|
R |
2R + 1 |
El principal problema consistió en personas que no entendieron que el 22 no era el siguiente de 11, y qué hacer con el número R, no pusieron fórmula.
A continuación, tras observar la presencia de fracciones en la columna amarilla, redujeron todos los denominadores a un denominador común 3, observando que el numerador era el doble que en la columna anterior.
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Roja |
Azul |
Amarilla |
Verde |
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1 |
3 |
6/3 |
5 |
|
2 |
5 |
10/3 |
9 |
|
3 |
7 |
14/3 |
|
|
4 |
9 |
18/3 |
17 |
|
5 |
11 |
22/3 |
21 |
|
6 |
13 |
26/3 |
|
|
7 |
15 |
30/3 |
|
|
8 |
17 |
34/3 |
33 |
|
9 |
19 |
38/3 |
|
|
10 |
21 |
42/3 |
41 |
|
22 |
45 |
90/3 |
|
|
100 |
201 |
402/3 |
|
|
R |
2R + 1 |
(4R + 2)/3 |
En la última columna también es rápido observar que se trataba de los números anteriores al numerador de la columna anterior, así que la fórmula es fácilmente deducible.
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Roja |
Azul |
Amarilla |
Verde |
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1 |
3 |
6/3 |
5 |
|
2 |
5 |
10/3 |
9 |
|
3 |
7 |
14/3 |
13 |
|
4 |
9 |
18/3 |
17 |
|
5 |
11 |
22/3 |
21 |
|
6 |
13 |
26/3 |
25 |
|
7 |
15 |
30/3 |
29 |
|
8 |
17 |
34/3 |
33 |
|
9 |
19 |
38/3 |
37 |
|
10 |
21 |
42/3 |
41 |
|
22 |
45 |
90/3 |
89 |
|
100 |
201 |
402/3 |
401 |
|
R |
2R + 1 |
(4R + 2)/3 |
4R + 1 |
Y eso da respuesta a todas las preguntas. Hubo gente también que estableció fórmulas para pasar de una columna a otra, de forma que si Am es la amarilla y Az el la azul, Am = (2·Az)/3, y Si V es la verde, V = 3·Am – 1. De ahí, unas pocas personas dedujeron la fórmula final.