Problema 5 del nivel B de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14-15 años

La bocana del puerto de Benimat está señalizada por dos faros, uno rojo y uno verde.

El faro rojo funciona según la secuencia L3 oc2 L1 oc2 (se ilumina durante tres segundos, se apaga durante dos segundos, se enciende durante un segundo, se apaga durante dos segundos y vuelve a repetirse el ciclo).

El faro verde sigue la secuencia L2 oc2 L3 oc5.

La farera del puerto pone a funcionar el faro rojo y, a los cinco segundos, el faro verde. Si durante la noche fotografiamos el puerto en un instante aleatorio, cuál es la probabilidad de que aparezcan en la foto los dos faros encendidos?

Solución:

Lo que debemos ver es de cuánto tiempo es el periodo completo en el que ambos faros empiezan de nuevo a funcionar a la vez, y ver qué porcentaje de la noche están ambos encendidos.

La longitud de ciclo del primero es de 8 segundos, y la del segundo, de 12. El segundo lleva un retardo de 5 segundos, y el ciclo real completo será de 24 segundos (tres ciclos del primero y 2 del segundo).

Recordemos que la secuencia del primero es L3 oc2 L1 oc2 y la del segundo es L2 oc2 L3 oc5.

Es mejor hacer un esquema, poniendo o en el lugar de encendido y x en el de apagado:

xxoooxxoxxoooxxoxxoooxxo
ooxxoooxxxxxooxxoooxxxxx

En el momento de encender el segundo, durante 2 segundos el segundo está encendido y el primero apagado. Después, el segundo apaga 2 segundos pero el primero está encendido.

En el segundo 5 ambos están encendidos, pero se apaga el primero a continuación, permaneciendo 2 segundos apagado.

Cuando se enciende el primero, se apaga el segundo, y al segundo siguiente se apaga el primero, estando así dos segundos ambos apagados.

Dos segundos encendido el primero y apagado el segundo, un segundo ambos encendidos, uno encendido el segundo y apagado el primero, etcétera.

En general, se aprecia que sólo hay 3 segundos de los 24 en los que ambos están encendidos, así que la probabilidad de que ambos salgan encendidos en la foto es de 3/24 = ⅛.