Problema 2 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 años
Sean a, b, c, d y e enteros positivos tales que a <= b <= c <= d <= e y que a + b + c + d + e = 1002.
a) Determinar el mayor valor posible de a + c + e
b) Determinar el menor valor posible de a + c + e
Teniendo en cuenta que la suma total debe ser 1002, si queremos que a + c + e sea lo mayor posible, debemos hacer lo más pequeño posibles b y d, teniendo en cuenta que deben seguir un orden.
La menor suma posible de a + b + c + d con enteros positivos es 1 + 1+ 1 + 1 = 10, de forma que b y d deben sumar al menos 2. Eso significa que a + c + e debe ser a lo sumo 1000, y se puede lograr escogiendo 1, 1, 1, 1 y 998.
Por otra parte, si queremos que a + c + e sea lo menor posible, deberemos acumular los mayores valores en b y en d, ya que la suma debe seguir dando 1002.
El valor de a lo podemos fijar en 1, que es el menor posible, pero b + c + d + e deben sumar entonces 1001. Cuatro números iguales no puede ser, pero pueden ser lo más parecidos posible los tres primeros y muy similar el otro, siguiendo una expresión similar a 4x + h = 1001.
Luego usando números consecutivos lo mayores posibles, podríamos alcanzar el valor previsto, sumando 250, 250, 250 y 251, luego podríamos sumar 1, 250, 250, 250 y 251 para obtener 1002, consiguiendo que b + d sumen 500. Si aumentamos cualquiera de los dos, puesto que no podemos bajar e, obtendríamos una suma mayor que 1002, por lo que es un valor máximo.
Vamos a verlo en detalle. Es obvio que no podemos aumentar d. Pero si disminuimos b, podríamos disminuir también c, pero a cambio podríamos aumentar d, lo que pasa es que sólo lo podríamos aumentar tantas unidades como disminuyamos b y c, ya que hay que aumentar d y e en la misma cantidad para sumar 1002 (si queremos aumentarlo más de una unidad). En ningún caso podemos aumentar 2 unidades más d que e, ya que no se mantendría el orden.
Por tanto, b + d debe sumar 500 como máximo, y a + c + e debe, por tanto, sumar 502 como mínimo. Ese valor se alcanza para los números 1, 250, 250, 250 y 251, y también en otras combinaciones (por ejemplo, 1, 248, 249, 252, 252).