Problema 11 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se ordenan aleatoriamente las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin repetir ninguna, para escribir un código de 10 cifras (puede comenzar por 0).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena de números 123?

b) Cuál es la probabilidad de que en ese código, las cifras 1, 2 y 3, aparezcan en ese orden (el 1 en alguna posición antes del 2, el 2 en alguna posición antes del 3)?

Se crea un código de 10 cifras de manera que cada cifra se elige al azar entre el 0 y el 9, independientemente de las otras.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 20222023?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 2022 y también la 2023?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que en ese código aparezca la cadena 2025?

Solución:

Apartado a)

Puesto que no es muy conveniente ir comprobando si la cadena aparece o no cada vez que elegimos un número (aunque tal vez se podría hacer un árbol podando hábilmente a cada paso), voy a tratar de calcular el número de combinaciones que tienen este tipo de situación, y dividirlo entre el total, que son 10! = 2·3·4·5·6·7·8·9·10 = 3 628 800.

Si ponemos la cadena en primer lugar, hay que elegir las 7 cifras que van en las 7 posiciones restantes entre las 7, lo que hará un total de 7!, pero hay la misma cantidad si la cadena está en segunda, tercera, o incluso en octava posición, es decir que tenemos 8·7! = 8! códigos con esa condición.

La probabilidad es, por tanto, 8!/10! = 1/90.

Apartado b)

Sería muy fácil saber si un número cae delante de otro, porque la probabilidad es exactamente un medio (la mitad de veces saldrán en un orden y la otra mitad en el otro).

Sin embargo, con tres, igual no es tan evidente.

Uno cualquiera de los códigos va a tener un 1, un 2 y un 3, en cualquiera de los órdenes posibles.

Pero como hay 6 posibles órdenes, habrá cinco códigos con los números desordenados en esas posiciones, y uno con los números en su orden, por lo que la probabilidad de que estén en el orden correcto es 1/6.

Apartado c)

Una cadena muy larga, formada por 8 cifras, la probabilidad va a ser muy baja.

Hay 10¹⁰ = 10 000 000 000 de códigos posibles. Veamos cuántos contienen esa cadena. La cadena puede empezar en primera, segunda o tercera posición, porque sólo podremos elegir con libertad 2 dígitos, es decir, que tendremos 3·100 = 300 cadenas con esa condición.

Por lo tanto la probabilidad es sumamente baja (300/10 000 000 000 = 3/100 000 000).

Apartado d)

Puesto que no nos dicen que una cadena esté antes de la otra, tenemos bastantes casos que tener en cuenta. En cada uno de ellos hay que elegir los otros dos dígitos del código, es decir, que una vez que fijemos las dos cadenas, el número de posibilidades se debe multiplicar por 100.

Si la primera cadena se fija al principio, la segunda se puede poner en quinta, sexta o séptima posición. Si se pone en segunda posición, la segunda sólo se puede poner en sexta o séptima posición. Si es en tercera posición, sólo se puede poner en séptima posición. No se puede poner en cuarta posición, porque no hay sitio para la otra, y de nuevo hay una situación simétrica si se pone en quinta, sexta o séptima posición. Por tanto hay un total de 1 200 cadenas con esa condición.

La probabilidad por tanto es baja, pero no tanto como la otra (1 200/10 000 000 000 = 3/25 000 000).

Apartado e)

Es muy similar al c), pero tenemos 7 posibles situaciones para la cadena, y hay que elegir los 6 dígitos restantes, de forma que tenemos 7 000 000 de cadenas con esta propiedad, así que aparentemente la probabilidad es de 7/10 000.

Sin embargo, hay que afinar un poco más, ya que en este recuento hay que quitar los casos en los que la cadena aparece dos veces, ya que los estaremos contando doble.

¿Cuántas veces aparece doble la cadena 2025? Para eso usamos el apartado d), ya que hay un total de 600 cadenas en las que aparece doble (ya que si aparece en sexta posición, por ejemplo, y la otra en cuarta, ya la hemos contado). Por tanto la respuesta correcta es 6 999 400/10 000 000 000 = 34 997/50 000 000, en realidad sólo ligeramente inferior a la probabilidad aparente.