Problema 9 del concurso Marató de problemes 2024<
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Unos bombones se venden a un precio de 0,50€ cada uno.

En la pastelería hacen una promoción algo especial:

Si se compran entre 16 y 30 bombones, hacen una rebaja del 6% en el precio total de los bombones.

Si se compran entre 31 y 50 bombones, la rebaja sería del 12% sobre el precio inicial total de los bombones.

Si se compran más de 50, entonces hacen un 20% de descuento sobre el precio inicial total de los bombones.

Anna hizo una primera compra de bombones, por la que le hicieron un 6% de descuento. Volvió al rato e hizo una segunda compra por la que le hicieron un 12% de descuento. Entonces se dio cuenta de que si los hubiese comprado todos a la vez, le habrían hecho un descuento del 20% y se habría ahorrado 2,55€ en total.

¿Cuántos bombones compró la primera vez?

Solución:

En este caso, se trata de un problema diofántico, hay que dar una cantidad entera como respuesta.

Para trabajar con una cantidad lo más pequeña posible, ya que sabemos que al menos compra 16 bombones, supondremos que x es cuántos más de 16 compra, es decir, x va a ser un número entre 0 y 14.

Y el valor y va a ser cuántos más de 31 bombones compra, que debe ser un número entre 0 y 19.

El gasto en la primera compra será de 0,50(16 + x), pero le hacen un descuento de 6%, es decir, que el gasto es de 0,47(16 + x).

El gasto en la segunda compra será de 0,50(31 + y), pero le hacen un descuento del 12%, es decir, que el gasto será de 0,44(31 + y).

Si los hubiese comprado a la vez, afirma el problema que habría pasado de 50, es decir, que 16 + x + 31 + y = 47 + x + y es mayor que 50. Y el precio de la compra sería 0,5(47 + x + y), pero con un descuento del 20% en realidad sería 0,4(47 + x + y).

La diferencia entre el precio total y lo que le habrían cobrado es de 2,55, y eso se expresa como sigue a continuación:

0,47(16 + x) + 0,44(31 + y) – 0,4(47 + x + y) = 2,55.

Realizando las operaciones, tenemos que:

7,52 + 0,47x + 13,64 + 0,44y – 18,8 – 0,4x – 0,4 y = 2,55.

Por tanto:

2,36 + 0,07x + 0,04y = 2,55.

En conclusión

0,07x + 0,04y = 0,19.

Es decir, 7x + 4y = 19.

Está claro que x no puede ser 0 porque y no podría ser entero, pero puede darse que x vale 1 y que y valga entonces 3. Si x vale 2 no hay posible valor entero para y. Y valores mayores de x son demasiado grandes para este resultado, luego la única posibilidad es que x valga 1 e y valga 3.

Por tanto, la primera vez habrá comprado 17 bombones (y la segunda, 34 y, en efecto, suman más de 50).