Voy a aprovechar que 2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7⁷ + 8³ + 9³ para estudiar esta propiedad a través de uno de los métodos de demostración más sencillos de entender, el método de la inducción completa.

Demostración de que (1 + 2 + … + n)² = 1³ + 2³ + … + n³, mediante el método de la inducción.

1. Probamos que es cierto en el caso n = 1 (podemos también probar algún caso más):
   1² = 1³
   (1 + 2)² = 3² = 9 = 1³ + 2³ = 1 + 8
2. Suponemos que es cierto hasta un determinado caso. En este caso, supondremos que es cierto hasta el término n -1 porque resulta más sencillo trabajar con ese supuesto, así pues, supondremos que, para todo k menor que n se cumple (1 + 2 + … + k)² = 1³ + 2³ + … + k³. En particular, para n – 1, tenemos que (1 + 2 + … + n – 1)² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³.
3. Trataremos de probar que es cierto para n, tratando de aprovechar la hipótesis de inducción vista en (2). (1 + 2 + … + n – 1 + n)² = (1 + 2 + … + n – 1)² + 2·(1 + 2 + … +  n – 1)·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + 2·(n – 1)·n/2·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + (n – 1)·n·n + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + n³ – n² + n² = 1³ + 2³ + … + (n – 1)³ + n³, como queríamos demostrar.

En la cadena de igualdades se ha utilizado el cuadrado de la suma y la suma de una progresión aritmética de n – 1 términos y diferencia 1. Si el caso de hipótesis de inducción hubiese sido el de n en lugar de n -1, el único problema habría sido que tal vez habríamos necesitado el desarrollo de (n + 1)³.