Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a + b + c + d = 1001.

Solución:

He buscado otras aproximaciones, pero la única que he encontrado es buscar los cuatro factores x, y, z, t que hacen que n = xa = yb = zc = td.

Puesto que estos números están entre 1 y n, los factores correspondientes serán al menos 2, 3, 4 y 5.

Es posible transformar por tanto a + b + c + d = 1001 en n/x + n/y + n/z + n/t = 1001, por lo que 1001/n = 1/x + 1/y +1/z + 1/t que siempre será menor o igual que ½ + ⅓ + ¼ + 1/5 = 30/60 + 20/60 + 15/60 + 12/60 = 77/60.

Por lo tanto, 1001/n es menor o igual que 77/60, y puesto que 1001 es divisible por 77, tenemos que 13/n es menor que 1/60. Se ahí, tenemos que 13·60 es menor o igual que n, y ese número es 780.

Podemos tratar de lograr esa suma con 780, y tendremos éxito, ya que 1001/780 es exactamente igual que 77/60, y así tendremos que 1001/780 = ½ + ⅓ + ¼ + 1/5, y por tanto 1001 = 360 + 260 + 195 + 156. Si no hubiese sido así, habríamos tenido que tantear con fracciones algo menores (valores de n algo mayores), y se habría vuelto un tanteo algo más tedioso.

Por tanto, podemos afirmar que 780 es el menor valor de n para el que sucede esto.