Problema 6 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Española de Matemáticas (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Encuentra todas las funciones f : (0, +∞) → (0, +∞) que cumplen, para x, y > 0 cualesquiera, la igualdad siguiente:

f(x·f(y))) = f(x·y) + x

Solución:

Primero hay que entender qué significa lo que nos propone el problema.

Tenemos que encontrar una función que sólo actúa sobre los números reales positivos y devuelve valores reales positivos.

Y esta función debe cumplir una igualdad muy sencilla, pero para todos los posibles juegos de valores que tengamos.

Puesto que aparece una multiplicación, podemos tratar de ver qué sucede si x = 1. La igualdad se queda en que f(f(y)) = f(y) + 1. Por tanto, si tenemos un elemento z que sea f(y) para algún valor y, tendremos que f(z) = z + 1, así que es muy probable (aunque no tengamos aún el pleno convencimiento) de que la única función que lo cumpla sea f(x) = x + 1.

Supongamos ahora que x = f(z) para algún valor z. Esto supone que f(f(z)·f(y)) = f(f(z)·y) + f(z) = f(y·f(z)) + f(z) = f(z·y) + y + f(z), pero como daría lo mismo desarrollar al revés, tendríamos que f(z·y) + y + f(z) = f(z·y) + z + f(y), así que tenemos que , sea cual sea el valor de z y de y, y + f(z) = z + f(y). Eso quiere decir que f(z) – f(y) = z – y.

De esta conclusión, obtenemos que para cualquier x, tenemos que f(x) = x + f(1) – 1, es decir, que es una recta de pendiente 1 y término independiente f(1) – 1, pero es fácil ver que esa constante debe ser 1, ya que si vale cualquier otra cosa, f(f(x)) = f(x) + 1 = f(x) + c, con lo que c debe valer 1.

Así, cualquier función que cumpla el enunciado, debe ser f(x) = x + 1.

Pero queda por ver que esta función lo cumple, así que veamos la relación f(x·f(y))) = f(x·y) + x.

f(x·f(y))) = x·f(y) + 1 = x·(y + 1) + 1 = x·y + x + 1.

f(x·y) + x = x·y + 1 + x.

Luego realmente sí lo cumple. Existe la función, por tanto, y también podemos afirmar que es única.