Problema 2 de la Fase Provincial de la Olimpiada de Matemáticas de la Comunidad Valenciana(2024)
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Sea f(x) una función real de variable real que cumple la siguiente igualdad para cualquier x:

f(x) + f(1/(1 – x)) = x

Encuentra f(x).

Empiezo diciendo que este problema me parece muy complicado para el nivel propuesto. Sería tal vez más adecuado para un nivel de bachillerato.

Normalmente podemos empezar con valores concretos, para ver si obtenemos algún número que nos proporcione alguna pista.

En concreto, vemos que f(2) + f(-1) = 2.

Probando un poco más, nos encontramos que f(-1) + f(1/2) = -1.

Y teniendo esto en cuenta, vemos que f(1/2) + f(2) = 1, lo que nos puede animar a hacer un sistema y obtener el valor de esos tres puntos. Si restamos a la primera igualdad la segunda, y le sumamos la tercera, tendremos que 2f(2) = 7/2, de forma que f(2) = 7/4, y también podemos determinar f(-1) y f(1/2).

Lo hecho hasta ahora nos puede dar una idea para proceder en general, ya que esforzándonos un poco vemos que también podemos obtener por un sistema similar cualquier valor.

Ahora, lo podemos hacer en general.

Así, sabemos que f(x) + f(1/(1 – x)) = x.

Por otra parte, si ponemos 1/(1 – x) donde está x, tenemos que 1/(1 – 1/(1 – x)) = (1 – x)/(1 – x – 1) = (1 – x)/(-x) = (x – 1)/x, y se debe cumplir que: f(1/(1 – x)) + f((x – 1)/x) = 1/( 1 – x).

Por último, si volvemos a poner (x – 1)/x en el lugar que inicialmente ocupaba la x, la otra variable sobre la que actúa la f será 1/(1 – (x – 1)/x), y, multiplicando por x numerador y denominador en esta expresión, tenemos que es igual a x/(x – (x – 1)) = x. Por tanto, se debe cumplir que f((x – 1)/x) + f(x) = (x – 1)/x.

En resumidas cuentas, tenemos estas tres igualdades:
f(x) + f(1/(1 – x)) = x
f(1/(1 – x)) + f((x – 1)/x) = 1/( 1 – x)
((x – 1)/x) + f(x) = (x – 1)/x

Cambiando el signo de la igualdad segunda, y sumando, tenemos que: 2f(x) = x + 1/(x – 1) + (x – 1)/x.

Por lo tanto, igual que hemos hecho con el 2 inicialmente, tenemos que f(x) = x/2 + 1/(2x – 2) + (x – 1)/(2x), o sumando las tres fracciones, f(x) = (x³ – x + 1)/(2x(x – 1)).

En realidad, deberíamos asegurarnos que se cumple la relación indicada, pero eso llevaría mucho tiempo, especialmente por el cálculo de f(1/(1 – x)), ya que habría que sustituir cada una de las variables x y simplificar para asegurarse que, tras sumarlo a f(x) da efectivamente x. Yo lo he comprobado y así es, pero lleva bastante trabajo, porque en la fórmula de f(x) habría que cambiar la x por 1/(1 – x), y simplificar.

Veamos cómo se simplifican las fracciones sencillas que hemos calculado previamente:
La fracción x/2 pasaría a ser 1/(2(1 – x)) = -1/(2x – 2).
La expresión 1/(2x – 2) pasaría a ser 1/(2/(1 – x) – 2) = (1 – x)/(2 – (2 – 2x)) = (1 – x)/2x.
Por último, la expresión (x – 1)/2x pasaría a ser (1/(1 – x) – 1)/(2/(1 – x)) = (1 – 1 + x)/2 = x/2.

En resumidas cuentas, f(1/(1 – x) = -1/(2x – 2) + (1 – x)/2x + x/2.

Si sumamos f(x) + f(1/(1 – x) = x/2 + 1/(2x – 2) + (x – 1)/(2x) – 1/(2x – 2) + (1 – x)/2x + x/2 = x/2 + x/2 = x, por lo que en efecto cumple la relación pedida.