Problema 9 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 años
Sea ABC un triángulo acutángulo cuyos lados tienen longitudes a, b y c, y sea S el área del triángulo.
Sea P un punto interior del triángulo de forma que a·|PA| + b·|PB| + c·|PC| = 4S.
Demuestra que P es el ortocentro del triángulo ABC.
Solución:
Un problema de geometría muy interesante, puesto que no me encuentro a menudo con propiedades del ortocentro.
La idea central es probar que esta propiedad la cumple el ortocentro, y sólo el ortocentro, pero lo podemos hacer de varias formas.
Hay dos enfoques muy diferentes. En uno de ellos, se trata de buscar propiedades del ortocentro que nos permitan llegar a estas conclusiones.
¿Por qué las tres alturas se cortan en un punto, si no tienen ninguna propiedad (aparentemente) de simetría que les obligue a coincidir de esa manera? La respuesta es que sí que la tienen. Si duplicamos el lado del triángulo y lo reflejamos, de forma que el triángulo original aparezca inscrito en el nuevo (mira la imagen), las alturas son perpendiculares a los lados por el punto central, es decir, son mediatrices, y se cortan porque cada uno de sus puntos está a la misma distancia de los vértices, es decir, se cortan en el circuncentro.
Ahora, ¿qué relación tiene esto con el área? Pues el nuevo triángulo tiene un área de 4 veces el área original, por ser semejante con una escala lineal de 2.
Y si divides el área en tres fragmentos usando ese punto y las líneas que lo unen con los vértices, el área queda dividida en tres partes, cada una de las cuales es un triángulo. Por lo que el área será el producto de la altura sobre la base de ese punto (que en el anterior triángulo sería la distancia al vértice) por el lado, partido entre dos. Pero el lado partido por dos es el antiguo lado, así que sería equivalente al valor pedido.
Por otro lado, si tomamos cualquier otro punto, las distancias a los antiguos vértices multiplicadas por los antiguos lados serían mayores que sus alturas sobre los nuevos lados multiplicadas por los nuevos lados partidos por dos, es decir, el resultado sería mayor necesariamente que el área total del triángulo, es decir, mayor que el valor 4S del problema.
Con lo que el único punto que cumple la igualdad es el ortocentro.
El otro enfoque consiste en utilizar geometría algebraica, y ver que el ortocentro es el único punto que cumple esta curiosa propiedad. Sin embargo, no he conseguido encontrar una explicación algebraica que sea clara, lamentablemente.