Problema 8 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Consideramos todos los números naturales de 5 cifras ordenados de manera creciente, y llamamos a₁ = 10000, a₂ = 10001, …
Si am es un número capicúa de la sucesión (la cifra de las decenas coincide con las unidades de millar, y la de las unidades, con la de las decenas de millar), llamamos Dm a la diferencia entre n y m, donde n es el valor más próximo por encima de m de forma que an también es capicúa.
a) ¿Cuántos valores diferentes puede tener Dm para los posibles valores de m?
b) ¿Cuál es el valor más pequeño que puede tener Dm?
c) ¿Cuál es el valor mayor que puede tener Dm?
Solución:
Los números capicúas de cinco cifras tienen la misma cifra de las unidades que la de las decenas de millar, y la misma cifra de las decenas que la de las unidades de millar.
Si son consecutivos, la mayor parte de veces una variación sólo en las centenas, es decir, que la mayor parte de veces, el valor D_m será 100.
Sin embargo, cuando la cifra de las centenas sea 9, pero la de las unidades de millar no, la cifra de las unidades de millar aumentará, y la de las centenas pasará a ser 0. La de decenas tendrá que aumentar para ser igual que la de las unidades de millar, con lo que la diferencia entre ambos valores será, como en el caso del paso del 24942 al 25052, en los que la diferencia es de 110.
En general, (10000a + 1000b + 1000 + 10b + 10 + a) – (10000a + 1000b + 900 + 10b + a) = 110.
Y el otro caso en que se produce una variación importante es cuando ambos valores, el de las unidades de millar y las centenas es igual a 9, como en el paso de 29992 al 30003, en el que observamos que hay cambio tanto en las unidades hacia arriba como en la de las decenas de millar hacia arriba, pero en el resto de cifras hay una disminución de 9 unidades. En ese caso, D_m valdrá tan sólo 11 unidades.
En general, (10000a + 10000 + a + 1) – (10000a + 9000 + 900 + 90 + a) = 11.
Por tanto, la respuesta a l apartado (a) es que hay 3 valores diferentes. El apartado (b) es que el menor valor es 11 (y lo encontraremos en 8 ocasiones, en cada salto en las decenas de millar de 1 a 9), y el valor mayor es 110 (y lo encontraremos en cada cambio entre unidades de millar, que ocurre mucho más a menudo).