Problema 10 del concurso Marató de problemes 2025 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Tenemos 10 bolsas, todas ellas con la misma cantidad inicial de canicas.
De la primera bolsa sacamos una determinada cantidad de canicas, de la segunda, el doble que de la primera, de la tercera, el doble que de la segunda, y así sucesivamente.
Da la casualidad que, al sacar las canicas de la última bolsa, quedan dentro la misma cantidad que hemos sacado de la primera.
El número total de bolas de canicas que quedan en las bolsas, después de estas extracciones, es de 12321.
Se pide calcular cuántas canicas habían inicialmente en cada una de las bolsas.
Solución:
Llamemos x al número de bolas que extraemos de la primera bolsa, y llamemos y al número total de bolas que inicialmente tienen las 10 bolsas.
De la segunda bolsa extraemos 2x, de la tercera 4x, y así sucesivamente. Cuando extraemos 2⁹x = 512x de la última, quedan exactamente x, con lo que está claro que y = 513x.
Ahora, puesto que sabemos las que quedan después de las extracciones, sabemos que 10y = 12321 + x + 2x + 4x + … + 512x, es decir, que el total son las que quedan más las que hemos extraído.
De ahí, obtenemos 5130x = 12321 + (1 + 2 + 4 + … + 512)x = 12321 + 1023x.
De esta última ecuación, tenemos que 4107x = 12321, por lo que x = 12321/4107 = 3. Por supuesto, y = 513·3 = 1539.
Así que inicialmente, en cada bolsa había 1539 canicas, y de la primera extrajimos 3.
En este problema ayuda bastante para hacer las cuentas saber sumar una progresión geométrica, es decir 1 + 2 + 4 + … + 2⁹, y la fórmula es muy sencilla, ya que si a esta suma le llamamos S, 2S es casi la misma suma, 2 + 4 + 8 + … + 2¹⁰, y restando ambas cantidades, tenemos que 2S – S = S, y es igual a 2¹⁰ – 1 = 1023. Se trata de una estrategia muy rápida para sumar cualquier sucesión en la que multipliquemos por una constante para pasar de un término a otro.