Problema 5 del viernes de la Fase Local de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Existen n y m naturales diferentes de cero de forma que el resultado de la expresión n² + 2018nm + 2019m + n – 2019m² es un número primo?

Solución:

Podemos intentar hacer varias cosas. La opción más habitual es tratar de factorizar la expresión para convertirla en un producto, y estudiar a partir de ahí las propiedades de esos factores. Otra opción es tratar de ver que el resultado siempre es par, y no puede valer 2.

Para factorizar la expresión hay que recurrir a la factorización que solemos hacer de polinomios de segundo grado, pero ahora interpretando que se trata de un polinomio de segundo grado (en n), cuyos coeficientes tienen un parámetro m (o al revés).

La idea es convertir n² + 2018nm + 2019m + n – 2019m² en n² + (2018m + 1)n + 2019m – 2019m². Para buscar las raíces, debemos calcular los valores de la fórmula de la ecuación de segundo grado.

Empecemos con el discriminante, es decir, el valor en el interior de la raíz. El segundo coeficiente al cuadrado será (2018m + 1)² = 4072324m² + 4036m + 1, y el producto de – 4(2019m – 2019m²) = – 8076m + 8076m², por lo que en total el discriminante quedaría 4080400m² – 4040m + 1. Sería perfecto que fuese un cuadrado perfecto, ¡y así es!

Por tanto, el discriminante es el cuadrado de 2020m – 1, por lo que una solución será (-2018m – 1 + 2020m – 1)/2 = (2m – 2)/2 = m – 1, mientras que la otra será (-2018m – 1 – 2020m + 1)/2 = -4038m/2 = -2019m.

Eso quiere decir que nuestro polinomio inicial es el producto de (n – m + 1)(n+2019m). Es sencillo comprobar ahora que ambas expresiones son iguales, por descartar errores durante el proceso.

Ahora, vamos a ver si alguno de los dos factores puede ser 1, con lo que podría darse el caso de que fuesen primos.
El factor (n + 2019m) siempre es mayor que 1 (recuerda que ninguno de los dos puede ser 0). Sin embargo, (n – m + 1) sí puede ser 1 en el caso de que ambos valores n y m fuesen iguales, pero en ese caso (n + 2019m) = n(1 + 2019) = 2020n, que es un número claramente compuesto.

Por lo tanto, siempre que nuestra fórmula produzca un número positivo, obtendremos un número compuesto.

Nota: si n – m + 1 es -1, en ese caso m = n + 2, y (n + 2019m) = n + 2019n + 4038 = 2020n + 4038 = 2(1010n + 2019), que también es un número compuesto. Aunque en ese hipotético caso, al ser un número negativo, no sería válido de todas formas como número primo.