Problema 2 de nivel A de la Fase Comarcal de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

Recortamos, en una hoja de un calendario cualquiera dispuesto por semanas horizontalmente, un cuadrado de 3×3 días.

Si sumamos los nueve números de los días que contiene este cuadrado, obtenemos un número que es múltiplo de 13.

¿Sabrías decir qué número es el día que está en la esquina superior derecha del recorte?

Solución:

Supongamos que llamamos x al número de la esquina superior derecha. Los tres días de arriba serán x – 2, x – 1 y x, y su suma valdrá 3x – 3, es decir, el triple de la casilla central.

Por otra parte, las tres casillas de la fila central serán consecutivas, y sus números serán 7 unidades mayores que las tres primeras, es decir, x + 5, x + 6 y x + 7, y su suma será 3x + 18 (el triple de la central, de nuevo).

Y las tres casillas de abajo del todo serán 7 unidades más que las centrales, es decir, x + 12, x + 13 y x + 14, y su suma será 3x + 39 (de nuevo el triple de la central).

Así, la suma de las nueve casillas será 9x + 54 = 9(x + 6) (9 veces el valor de la casilla central).

Si este valor es múltiplo de 13, es porque la casilla central del recorte es el 13, ya que el 26, que es el siguiente múltiplo de 13, es demasiado grande, y faltarían casillas para recortar por abajo.

Es decir, que el número de la parte superior derecha debe ser el 7.

Otra forma de verlo es estudiando lo que pasa con el recorte menor posible, en el que la suma de las nueve casillas será 1 + 2 + 3 + 8 + 9 + 10 + 15 + 16 + 17 = 81. Cada vez que nos movemos hacia la derecha, aumentamos un día en cada casilla, es decir, un total de 9 unidades (90, 99, 108, …), mientras que si movemos el recorte hacia abajo, aumentamos 7 unidades cada casilla, y la suma subirá en 7·9 = 63 unidades. Por tanto, todas las sumas son múltiplos de 9, a partir de 9·9 = 81.

El máximo valor posible sería 15 + 16 + 17 + 22 + 23 + 24 + 29 + 30 + 31 = 216, que, evidentemente, es múltiplo de 9 (9·24).

Si además es múltiplo de 13, debe ser 9·13 = 117, que es el resultado de mover 4 unidades a la derecha el primer recorte, es decir, 5 + 6 + 7 + 12 + 13 + 14 + 19 + 20 + 21, y la casilla de la parte superior derecha es 7, como habíamos dicho antes. No puede ser otro, ya que el siguiente múltiplo de 13 es el 26, y es demasiado alto para un calendario (el recorte se saldría por la parte de abajo de la hoja, y no tendría 9 números).