Problema 1 del primer nivel de la XXV Olimpiada de Mayo (2019) Se dirige a una edad de 12 años
Halla todos los números de dos dígitos con la propiedad de que su cuadrado acaba en dos dígitos idénticos al número original.
Solución:
Pensemos primero en el último dígito solamente.
Cuando lo elevemos al cuadrado debe dar como resultado él mismo, así que sólo puede ser 0, 1, 5, o 6.
Analicemos por separado esas cuatro opciones. Las voy a analizar algebraicamente, pero es sencillo hacer un análisis más simple mediante enumeración, encontrando curiosos patrones al elevar al cuadrado (la diferencia en las decenas entre un cuadrado y el siguiente, manteniendo fija la última cifra, varían aumentando de la misma forma siempre).
Si acaba en 0, al elevarlo al cuadrado acabará en 00, por lo que la única solución es 00, pero ese número no es un número de dos cifras habitualmente válido.
Si acaba en 1, es de la forma 10x + 1, y al elevarlo al cuadrado será 100x² + 20x + 1, es decir, 20x = 10x, por lo que x = 0, obteniendo el número 01, que tampoco es un número válido, habitualmente.
Si acaba en 5, es de la forma 10x + 5, por lo que su cuadrado será de la forma 100x² + 100x + 25, siendo que la cifra de las decenas siempre es un 2. Eso quiere decir que x es 2, es decir, se trata del 25, cuyo cuadrado es el 625.
Por último, si acaba en 6, es de la forma 10x + 6, y su cuadrado es 100x² + 120x + 36, cuya cifra de las decenas es 2x + 3. La única manera de que 2x + 3 = x consiste en que x = -3, es decir, x = 7 (hay que tener en cuenta que excederse 10 unidades tiene la misma cifra). De esta forma, tenemos el 76, que al elevar al cuadrado proporciona el 4900 + 840 + 36 = 5776, que de nuevo acaba en 76.
Así pues, los números buscados son el 25 y el 76, aunque si aceptamos como números de dos cifras los que empiezan por cero, también serían válidos el 00 y el 01.
A mí se me ocurrió una solución que, si bien no es apta en principio para niños de 12 años, es también curiosa. Buscamos todos los enteros n entre 10 y 99 tales que n^2 – n sea divisible entre 100, o sea, que n(n-1) sea divisible entre 100. Sabiendo que n y n-1 son coprimos y que 100 = 2^2*5^2, solo hay dos posibles casos: que n sea divisible entre 4 y n-1 divisible entre 25 o que n-1 sea divisible entre 4 y n divisible entre 25. En el primer caso llegamos a que n = 76 y en el segundo a que n = 25.