Problema 5 de la Fase Nacional de la de la LV OME 2019
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Se consideran todos los pares de números reales (x, y) tales que 0 ≤ x ≤ y ≤ 1.

Sea M(x, y) el máximo valor del conjunto de tres números reales A = {xy, xy – x – y + 1, x + y – 2xy}.

Hallar el mínimo valor que puede tomar M(x, y) para todos estos pares (x, y).
Solución:

Esta pregunta tiene muchas formas de ser abordada, pero es complicado encontrar un camino sencillo.

Lo primero es reescribir los tres valores, para facilitar la comparación. La expresión xy – x – y + 1 = xy – (x + y) + 1 = x(y – 1) – (y – 1) = (x – 1)(y – 1), aunque, por otra parte, x + y – 2xy no parece tener una expresión diferente que simplifique las comparaciones.

Por otra parte, observamos que el sumando xy aparece en dos de las expresiones, mientras que en la otra aparece multiplicado por –2, así que si sumamos las tres expresiones obtenemos xy + xy – x – y + 1 + x + y – 2xy = 1. Así que se trata de tres valores que suman 1.

Por otra parte, puesto que x e y son variables entre 0 y 1, se da que x² ≤ x, y también y² ≤ y. De esta forma, (x – y)² = x² + y² – 2xy ≤ x + y – 2xy.

Por otra parte, los tres valores tienen una fuerte relación con el producto y la suma. Si llamamamos p al producto y s a la suma, tenemos que el primero es p, el segundo es p – s + 1 y el tercero es p – 2s.

Recuerda que cuando aparecen suma y producto, conviene recordar la desigualdad de la media aritmética y geométrica, que afirma que si x e y son números positivos (como es el caso), entonces (x + y)/2 ≥ raíz(xy), y la igualdad sólo se da en el caso de que x e y sean iguales.

Tras tantear con unos cuantos valores, se puede conjeturar que el valor mínimo de todos los máximos es 4/9, y es sencillo encontrar valores en los que se alcanza.

Puesto que la suma de los tres valores es 1, si uno de ellos es menor que 1/9, uno de los otros dos es seguro mayor o igual que 4/9, ya que la suma de ambos es 8/9.

Veamos cómo deshacer parte de la complejidad, estudiando por separado los casos en los que sepamos cuál de los tres es el mayor.

Si xy ≥ x + y – 2xy, entonces 3xy ≥ x + y ≥ 2raíz(xy), por lo que xy ≥ 2raíz(xy)/3, es decir, raíz(xy) ≥ 2/3, es decir, xy ≥ 4/9 (el primero de los valores es, en efecto, mayor que 4/9).

Si se da que xy – x – y +1 ≥ x + y – 2xy, de nuevo 3xy + 1 ≥ 2(x + y) ≥ 4raíz(xy), de donde obtenemos el polinomio en la variable z = raíz(xy) 3z² – 4 z + 1 ≥ 0. Por la posición de las raíces, o bien z ≤ 1/3 (con lo cual, xy ≤ 1/9, y uno de los dos números antedichos debe ser mayor o igual que 4/9), o bien z ≥ 1, con lo que xy debe ser mayor o igual que 1.

El último caso es aquel en el que el mayor de los tres valores es x + y – 2xy. Supongamos que este valor es menor que 4/9 y tratemos de llegar a una contradicción. Si x + y – 2xy < 4/9, se da que 4/9 + 2xy > x + y ≥ 2raíz(xy). De nuevo, esto nos lleva a un polinomio en z = raíz(xy), 2z² – 2z + 4/9 > 0, lo que nos lleva a unas soluciones para z que deben ser menor que 1/3 (con lo que llegaríamos a una situación similar a la anterior), o z mayor que 2/3, que de nuevo lleva a una contradicción.

Por lo tanto, todos los valores máximos son superiores a 4/9, y explotando la igualdad en que uno de los valores valga 1/9 y los otros dos 4/9 (por ejemplo, x = y = 1/3, con lo que xy – x – y + 1 = 4/9), encontramos que se cumple la igualdad. Luego el mínimo de los máximos es, precisamente, 4/9.

Mi agradecimiento de nuevo a Javier Nistal Salas, que me ha guiado en los detalles de este farragoso problema.