Problema 1 de análisis de primer nivel de los premios Jorge Juan de la Universidad de Alicante (2019) Se dirige a una edad de 18-20 años
Sea f una función continua del intervalo [-2019, 2019] en el conjunto de los números reales.
Demuestra que el conjunto X = {x ∈ [-2019, 2019] : f(x) = f(-x)} tiene mínimo y máximo, y que se verifica máx(X) + mín(X) = 0.
Solución:
La competición Jorge Juan es una prueba de matemáticas en la que participan estudiantes de varias universidades españolas. La organiza la Universidad de Alicante.
Como en otras competiciones universitarias, es preciso que se conozcan algunos resultados previos y definiciones para poder trabajar.
Si dominas esos resultados previos, solucionar este ejercicio no es muy complicado, aunque puede ser algo sorprendente.
Hay un par de resultados necesarios para este problema que es posible que los alumnos preuniversitarios no conozcan, aunque son bastante razonables. Toda sucesión real monótona acotada tiene límite, y todo conjunto de números reales acotado tiene supremo e ínfimo, es decir, que hay un valor real máximo que es inferior o igual a todos sus elementos (ínfimo), y un valor real mínimo que es mayor o igual que todos sus elementos (supremo). Sin embargo, estos valores reales pueden estar en el conjunto, o no. Ambos resultados se deducen de una definición rigurosa de lo que es un número real, ya que se basan en la convergencia de sucesiones.
El que f sea continua nos dice que si aplicamos la función a una sucesión con límite, el límite de la sucesión de imágenes existe y coincide con la imagen del límite, es decir, que podemos conmutar límite y función.
Evidentemente, X es no vacío pues 0 pertenece a él (recuerda que 0 = -0).
Por otra parte, si partimos de cualquier sucesión de elementos de X que tenga límite, veamos que el límite pertenece a X,
Ese límite será mayor o igual que -2019, por lo que la función estará definida en él, y puesto que la función es continua, se cumple que el límite de las imágenes existe, y es igual, por estar en el conjunto, al límite de las imágenes de las mismas sucesión opuesta, que coincidirá con la imagen del opuesto del límite. Por eso pertenecerá al conjunto.
Matemáticamente. Veamos que L =lím(xn) pertenece al conjunto. Por eso, f(L) = f(lím(xn)) = lím(f(xn)) = lim f(-xn) = f(lim(-xn)) = f(-L). Luego L pertenece a X.
Puesto que X está acotado, tiene ínfimo y supremo. Podemos construir dos sucesiones de elementos de X que esté más próxima a los ínfimos y supremos que 1/n, por lo que esas sucesiones tendrían por límites el ínfimo y el supremo, que así serían el mínimo y el máximo respectivamente de X, puesto que pertenecerían al conjunto.
Por último, veamos que estos dos números, que para abreviar llamaremos m y n, verifican la última igualdad.
Evidentemente, puesto que m pertenece a X, -m también pertenece, y lo mismo para n (- n pertenece a X).
Como m es mínimo, -n ≥ m, por lo que -m ≥ n, pero como n es máximo, n ≥ -m, por lo que tenemos que ambos valores coinciden. Es decir, que m = -n.
Por lo tanto mín(X) + máx(X) =0, como queríamos demostrar.