Problema 1 del nivel C de la Fase Provincial de la de la XXX OMCV 2019
Se dirige a una edad de: 10-11 años

¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir un/a presidente/a y un/a secretario/a de un grupo de 6 hombres y 8 mujeres si se desea que al menos una de esas dos personas (ya sea el/la presidente/a o el/la secretario/a) sea una mujer?

Solución:

Veamos por separado los tres casos posibles.

Por un lado, si elegimos como presidenta una mujer, tenemos 8 formas de hacerlo.

En cada uno de los casos, dispondremos de 13 formas diferentes de elegir el segundo cargo, puesto que puede ser indistintamente hombre o mujer (excepto la persona que ya hemos elegido para presidenta).

En total podríamos haber hecho 8·13 = 104 elecciones diferentes.

Por otro lado, si elegimos un hombre como presidente, tenemos 6 formas de hacerlo, y como entonces deberemos elegir necesariamente una mujer, dispondremos de 8 candidatas, con lo que tendremos 6·8 = 48 elecciones nuevas.

En total, disponemos de 152 diferentes formas de elegir los dos puestos.

Otra manera de contarlo es pensar que elegimos el presidente entre los 14 candidatos y el secretario entre los 13 restantes, para lo que tenemos 14·13 = 182 formas de hacerlo. Sin embargo, entre esas parejas hay varias ocasiones en las que elegimos los dos hombres, por lo que debemos descontarlas.

¿Cuántas, exactamente, descontamos? Pues el presidente entre los hombres disponemos de 6 formas para elegirlo, y el secretario disponemos de 5, luego tenemos un total de 30 parejas diferentes en las que ambos son hombres.

Luego, la respuesta es 182 – 30 = 152, como ya hemos visto.