Problema 9 del concurso marató de problemes 2020
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Un centro escolar organizó un viaje en autobús que tiene un coste total fijo para el centro independientemente del número de alumnos que vayan. El centro divide el coste total entre el número de personas que se apunten.

Se inscribieron más de veinte y, cuando calcularon el coste individual que supondría, el resultado fue una cantidad entera de euros.

Cuando anunciaron el coste, cuatro de los que se habían apuntado se borraron. Volvieron a calcular el coste individual, que curiosamente fue otra vez un número entero de euros, y se comenzó a recaudar el dinero. Todo fue bien hasta llegar a los dos últimos, que dijeron que no podrían ir a la excursión.

El día del viaje se volvió a calcular el coste del viaje por participante, que volvió a ser un número entero, y se tuvieron que recoger 3€ más a cada uno de los alumnos que finalmente fueron y que habían pagado ya la parte que les correspondía anteriormente.

¿Cuánto ha costado finalmente el viaje a cada participante?

Solución:

Puesto que inicialmente se inscribieron más de 20, y se borraron sucesivamente cuatro y dos personas, finalmente fueron más de 14 personas.

Supondremos entonces que el número de los que fueron debió ser x + 14, y que el coste final debió ser (por persona) una cantidad y de euros, entera. El número entero x debe ser mayor que 0.

Puesto que en último lugar se borraron 2 personas, y eso supuso un aumento en el precio de 3 €, tenemos que hay una relación del tipo (x + 14)y = (x + 16)(y – 3), que desarrollando hace que tengamos una expresión xy + 14y = xy +16y – 3x – 48, lo que supone que 48 = 2y – 3x.

Por lo tanto, y = 24 + 3x/2.

Por otra parte, anteriormente, había 4 personas más apuntadas, y el coste individual también era un número entero, así que sabemos que (x + 14)y es divisible por x + 20, pero (x + 14)y = (x + 14)(3x/2 + 24) = 3x²/2 + 45x + 336 y al dividirlo por x + 20 (como polinomio) debe dar un resto de 36 y un cociente de 3x/2 + 15, por lo que, o bien 36 debe ser divisible por el número x + 20 (recuerda que x es positivo), o bien x es impar, y en ese caso, 36 no sería divisible, pero 72 sí (así arreglaríamos el decimal sobrante). Sin embargo, esta última situación es imposible.

Todo esto nos lleva a que x + 20 debe ser exactamente 36, ya que es el único entero mayor que 21 que divide a 36, ya que valores de x impares no cumplen la condición requerida con los decimales, por lo que x = 16. Y, claro, y = 48€.

Fueron finalmente 30 personas, que pagaron 48€ cada una de ellas. El coste de la excursión por tanto fue de 2130€. Cuando había 32 personas, salían a 45€ por persona, y cuando (inicialmente) había 36 personas apuntadas, el coste era de 40€.

Me ha parecido interesante este problema, ya que es muy útil para manejar relaciones relativamente complicadas entre variables, y al final utiliza operaciones polinómicas no demasiado complicadas.

También podemos partir desde una cantidad x que sea el número de personas participantes inicial en la excursión, teniendo en cuenta más tarde que es mayor que 20. Si esta relación queda fuera, sería válida cualquier cantidad que divida a 36 y mantenga positivo el número de viajeros en todo momento.

Si no tenemos en cuenta la restricción de ser más de 20, también serían válidas otras soluciones, como por ejemplo una excursión con un total de 12 pasajeros y un coste de 21€ (252€ en total), ya que este número sería divisible por 14 y por 18.