Problema 0 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

A una prueba de aptitud se presentan 2019 personas, 995 chicos y 1024 chicas, y exactamente 1234 superan la prueba.

Calcula cuál es el valor de A – B, siendo A el número de chicas que han superado la prueba y B el número de chicos que no la han superado.

Solución:

Analicemos de forma algebraica la situación.

Dice que A es el número de chicas que ha superado la prueba, por lo que sabemos que, puesto que se han presentado 1024 chicas, habrá 1024 – A chicas que no la han superado. Como, además, hay 1234 personas que han superado la prueba, 1234 – A serán chicos que han superado la prueba.

Por otro lado, B es el número de chicos que no han superado la prueba, de forma que B + 1234 – A serán todos los chicos, es decir, 995.

Por lo tanto, 995 = B + 1234 – A, por lo que A – B = 1234 – 995 = 239.

Otra aproximación más sencilla es hacer un cálculo concreto y ver qué variantes hay.

Vamos a suponer que de las 1234 personas que han aprobado, 1000 son chicas (es decir, que 24 no la han superado), y 234 chicos (con lo que 761 no la han superado). En ese caso, A – B = 1000 – 761 = 239, con lo que tendríamos un valor.

Para estar seguro de que el valor no cambia, es suficiente ver que si aumentamos en una unidad el número de chicos que han aprobado, disminuimos un uno los que suspenden (es decir, B), pero como el número total de aprobados no varía, el número de chicas que apruebas también disminuye en 1, luego A – B permanece constante. Y lo mismo (al revés) sucede si disminuimos en uno el total de chicos que aprueban, por lo que concluimos que A – B permanece constante en todos los casos (es un invariante).