Problema 2 del concurso marató de problemes 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

A partir de un cuadrado, encontramos los puntos medios de los cuadrados y unimos cada vértice con uno de los puntos medios.

A partir de esas líneas, dibujamos el octógono amarillo que vemos en la figura.

Calcula la proporción del área total del cuadrado que ocupa ese octógono.

Solución:

La idea siempre es tratar de descomponer la figura en triángulos, a ser posible fáciles de manejar.

En un principio se pueden utilizar varios tipos de triángulos, por ejemplo un cuadrado y cuatro triángulos pequeños, pero la mejor descomposición la encontró una alumna de tercero de ESO, que vio la siguiente descomposición, que vemos en una imagen.

Evidentemente, el octógono inicial se puede descomponer en cuatro triángulos como el azul, que es proporcional al verde (semejante).

Puesto que el triángulo verde tiene un cuarto del tamaño total del cuadrado, el azul tiene una cuarta parte del verde, y al sumar 4 de ellos, evidentemente el octógono original tiene un cuarto del área del cuadrado original.