Problema 15 del concurso marató de problemes 2019 Se dirige a una edad de: 14-15 años
Consideramos el conjunto An = {1, 2, 3, … , 10n – 1, 10n} de todos los enteros positivos desde el 1 hasta el 10n.
a) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 2 o múltiplos de 3.
b) Razona cuántos números del conjunto An son múltiplos de 8 o múltiplos de 11.
Nota. La o no es exclusiva, es decir, que hay que incluir en el recuento los que sean múltiplos de ambos números. Naturalmente, la respuesta se dará en función de n, aunque es posible que algunos casos se deban detallar.
Solución:
Empecemos por trabajar el apartado (a).
Es fácil contar el número de múltiplos de 2, será 10n/2, ya que la mitad de números son pares.
Contar el número de divisores de 3 es más difícil, ya que 10n no es divisible entre 3, pero 10n – 1 siempre lo es (está formado por cifras 9 y es sencillo de probar), así que el número de múltiplos de 3 será (10n – 1)/3.
Sumarlos no dará el total, ya que los que sean múltiplos a la vez de ambos, que serán los múltiplos de 6, resultarán contados dos veces, así que deberíamos restar esta cantidad.
Para calcularla, debemos encontrar el número más próximo a 10n que sea divisible entre 6. Evidentemente 10n – 1 no es par, pero 10n – 4 sí, así que será (10n – 4)/6.
En definitiva, la cantidad que buscamos es, en función de n, 10n/2 + (10n – 1)/3 – (10n – 4)/6 = 3·10n/6 + (2·10n – 2)/6 – (10n – 4)/6 = (4·10n + 2)/6.
El apartado (b) es un poco más enrevesado.
La cantidad de múltiplos de 8 se debe calcular de formas diferentes según el valor de n.
Para n = 1, da 1
Para n = 2, da 12
Para n superior a 2, 10n es múltiplo de 8, así que será 10n/8.
La cantidad de múltiplos de 11 también se debe calcular de formas diferentes según el valor de n.
Para n = 1 no hay.
Para n = 2 será un total de 9.
Para n superior a 2, deberemos distinguir el caso par y el caso impar.
Si n es par, el número de múltiplos será (10n – 1)/11, puesto que 10n – 1 es múltiplo de 11.
Si n es impar, el número de múltiplos será (10n – 10)/11, ya que el múltiplo de 11 más próximo es 10n – 10.
La forma de razonar este detalle es plantearse que 10 = (11) – 1 (donde (11) es una manera sencilla de escribir los múltiplos de 11, y estudiar por inducción la congruencia apropiada para 10n, que en el caso par es (11) + 1 y en el impar (11) – 1.
Ahora hay que ver cuántos números son múltiplos de 88. Lo más rápido es ir bajando (para valores de n mayores que 2) desde el último múltiplo de 11, de 11 en 11, hasta encontrar uno que sea múltiplo de 8.
Para n = 1 no hay, y para n = 2 sólo hay 1.
Para n mayor que 2, en el caso de n par se tratará de (10n – 56)/88, y en el caso de n impar será (10n – 32)/88.
Así, la fórmula buscada será la detallada a continuación.
Para n = 1, hay 1 número.
Para n = 2, hay 20 números.
Y para valores de n mayores que 2, tendremos que, si n es par, 10n/8 + (10n – 1)/11 – (10n – 56)/88 = (18·10n + 48)/88 = (9·10n + 24)/44. Y si n es impar, 10n/8 + (10n – 10)/11 – (10n – 32)/88 = (18·10n – 48)/88 = (9·10n – 24)/44.
Claro que, si esta última fórmula queremos unificarla, podemos emplear (-1)n que es de diferente signo según la paridad de n, y tendremos que es (9·10n + (-1)n·24)/44. Esta fórmula sólo es válida para n mayor que 2, ya que, como se ha indicado, los casos 1 y 2 la potencia de 10 no es múltiplo de 8 y la fórmula no da un valor entero.