Problema 1 del nivel A fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019
Se dirige a una edad de: 12-13 años

¿Qué fracción representa la parte sombreada?

En el dibujo, a partir de un cuadrado, se ha dividido cada lado en tres partes, uniendo una esquina con la más lejana de las dos divisiones de los dos lados contrarios, y las dos divisiones más próximas de la otra esquina.

Solución:

He tenido la ocasión de presentar este problema a muchas personas de la edad adecuada, y ha habido muchas respuestas.

Voy a contar primero la mía, más técnica, y basada en un método más sistemático, y después una muy ingeniosa que lograron entre varias personas de esta edad trabajando en conjunto.

Lo primero que hice fue dar una medida ficticia a cada cuadrado de los que tenemos, por ejemplo, 2 unidades de lado, lo que hace que el cuadrado completo tenga 36 unidades cuadradas, mientras que cada cuadrado pequeño mide 4 unidades cuadradas de área.

En primer lugar, calculamos el área del triángulo que queda al quitar la línea más larga del dibujo del cuadrado. Puesto que es un triángulo, es claro que su área es 6·4/2 = 12 unidades cuadradas (lo de elegir como medida 2 es para evitar que salgan decimales o fracciones al calcular áreas de triángulos).

Ahora, si quitamos dos triángulos como estos, nos queda la pieza más grande del dibujo.

Y su área sería 36 – 24 = 12 unidades cuadradas.

Como es claro que las dos partes pequeñas forman entre ambas un cuadrado (o tienen 2 unidades cuadradas), el total de la imagen sombreadatendrá un área de 16, es decir, su proporción será 16/36 = 4/9 del área del cuadrado.

La solución que dieron los alumnos fue similar, pero descompusieron la figura central de otra forma, como podemos ver en el dibujo, para que quedara claro que la parte central ocupaba 3 cuadrados en total.