Problema 5 del nivel B fase autonómica de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2019
Se dirige a una edad de: 14-15 años

¿Cuántos números capicúas de 5 cifras hay que sean múltiplos de 11?

Solución:

Es un problema muy interesante, que requiere algo de combinatoria básica y conocer bien un criterio de divisibilidad del 11.

Evidentemente, ya que trabajamos con cifras, lo más interesante es utilizar el criterio basado en cifras, que afirma que un número es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan una posición impar y la suma de las cifras que ocupan una posición par es múltiplo de 11.

Un número de 5 cifras capicúa tiene la primera y la última cifra repetida, y lo mismo ocurrirá con la segunda y la cuarta. En ambos casos, observamos que ocupan posiciones del mismo tipo de paridad.

Si llamamos a a la primera y la última, b a la segunda y la cuarta y c a la tercera, la condición será 2a + c – 2b es múltiplo de 11.

Estudiemos los posibles valores que pueden tomar a y b según el múltiplo de 11 que se trate.

Puesto que a puede ser 1 como mínimo, el múltiplo de 11 más pequeño que podemos considerar es el número -11, que sólo se puede dar si c es impar, por ejemplo si a = 1, c = 1 y b = 7. Fijando el a, después el c y obteniendo después b, tenemos los siguientes valores: (1, 1, 7), (1, 3, 8) y (1, 5, 9). Para a = 2, sólo tendríamos (2, 1, 8) y (2, 3, 9) y para a = 3 (3, 1, 9). Y no hay más puesto que b está limitado a 9.

Eso hace un total de 6: 17171, 18381, 19591, 28182, 29392 y 39193.

Si es diferencia es de 0, tenemos que c debe ser par. Iniciando con a = 1, tendremos los 5 valores (1, 0, 1), (1, 2, 2), (1, 4, 3), (1, 6, 4) y (1, 8, 5). Con a = 2, tenemos (2, 0, 2), (2, 2, 3), (2, 4, 4), (2, 6, 5) y (2, 8, 6), otras 5. El a = 3 proporciona otras 5, (3, 0, 3), (3, 2, 4), (3, 4, 5), (3, 6, 6) y (3, 8, 7). El a = 4, 5 más, (4, 0, 4), (4, 2, 5), (4, 4, 6), (4, 6, 7) y (4, 8, 8). De la misma forma, a = 5 proporciona 5, (5, 0, 5), (5, 2, 6), (5, 4, 7), (5, 6, 8) y (5, 8, 9), pero a = 6 sólo da lugar a 4, (6, 0, 6), (6, 2, 7), (6, 4, 8) y (6, 6, 9). A partir de ahí, a = 7 da lugar a 3 (7, 0, 7), (7, 2, 8) y (7, 4, 9), a = 8 da lugar a 2, (8, 0, 8) y (8, 2, 9) y a = 9 sólo un número (9, 0, 9). Si queremos citar estos 25 + 10 = 35 números, serán 11011, 12221, 13431, 14641, 15851, 22022, 23232, 24442, 25652, 26862, 33033, 34243, 35453, 36663, 37873, 44044, 45254, 46464, 47674, 48884, 55055, 56265, 57475, 58685, 59895, 66066, 67276, 68486, 69696, 77077, 78287, 79497, 88088, 89298 y 99099.

Si la diferencia es 11, de nuevo debemos usar un valor impar para c, y ahí empezaríamos por 1 número para un valor de a = 1 (1, 9, 0), dos para a = 2 (2, 7, 0) y (2, 9, 1), tres para a = 3 (3, 5, 0), (3, 7, 1) y (3, 9, 2), cuatro para a = 4 (4, 3, 0), (4, 5, 1), (4, 7, 2) y (4, 9, 3). A partir de ahí, tenemos 5 números para a = 5, 6, 7, 8 y 9. Eso haría un total de otros 35 números más, que serían, si queremos enumerarlos: 10901, 20702, 21912, 30503, 31713, 32923, 40304, 41514, 42724, 43934, 50105, 51315, 52525, 53735, 54945, 61116, 62326, 63536, 64746, 65956, 72127, 73337, 74547, 75757, 76967, 83138, 84348, 85558, 86768, 87978, 94149, 95359, 96569, 97779 y 98989.

Se puede tener una diferencia de 22, con una c par, siempre que a valga, como mínimo 7. Tendríamos (7, 8, 0), un único valor si a = 7, dos valores si a = 8 (8, 6, 0) y (8, 8, 1) y 3 si a = 9 (9, 4, 0), (9, 6, 1) y (9, 8, 2). Corresponde a los números 70807, 80608, 81818, 90409, 91619 y 92829. Otros 6 números.

Evidentemente, puesto que la suma 2a + c está limitada a 27, no puede dar una diferencia de 33.

En total, tenemos 6 + 35 + 35 + 6 = 82 números.

Curiosamente, hay un total de 9·10·10 = 900 números capicúas, para todos los posibles a, b, c, por lo que el total de 82 es aproximadamente la proporción que les corresponde si estuviesen repartidos aleatoriamente entre los números (ya que 1 de cada 11 números sería múltiplo de 11).