Problema 5 del nivel A fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021
Se dirige a una edad de: 12 - 13 años

Carles y Marta escriben sucesiones de números siguiendo el siguiente procedimiento:

Toman un número natural que será el primero de la serie.

Calculan el siguiente multiplicando las cifras del número inicial.

Vuelven a repetir el proceso con el nuevo número que han obtenido.

La sucesión termina cuando obtienen un número de una sola cifra.

¿Qué número natural menor que 100 nos proporciona la sucesión más larga construida por este procedimiento?

Solución:

Tenemos un producto de dos cifras, que en un primer paso debemos evitar que se convierta en un número de una única cifra.

Hay que tener en cuenta que si una de las cifras es 0 o 1, o ambas cifras son menores que 3, el producto tendrá una cifra. Por lo tanto, debemos descartar empezar por una combinación de ese tipo.

El segundo número, trataremos de que tampoco tenga esa característica. Los mejores resultados serán aquellos productos que no acaben también en el paso siguiente. Vamos a ver todos los posibles productos de dos factores que no tienen esas características, estudiando el menor de sus factores:

De 3: 27, de 4: 28, 36, de 5: 25, 35, 45, de 6: 36, 48, 54, de 7: 49, 56, 63, de 8: 64, 72.

De estos 14 posibles números, al saltar al siguiente término de la sucesión da, respectivamente: 14, 16, 18, 10,15, 20, 18, 32, 20, 36, 30, 18, 24, 14.

Es evidente que el único resultado que no tiene una cifra en el siguiente salto es el 36, por lo que la cadena más larga será originada en el 77, y será, 77, 49, 36, 18, 8.