Problema 5 del nivel B fase comarcal de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana 2021 Se dirige a una edad de: 14 - 15 años
Demuestra que la suma tres cubos consecutivos es múltiplo de 9.
Solución:
No suele haber muchos problemas de demostración en este nivel, pero creo que está claro que este tipo de demostración necesita hacer uso, en mayor o menor medida, de álgebra.
Cuando se refiere a tres cubos consecutivos, se refiere a tres números enteros consecutivos al cubo.
La manera corta de hacerlo es pensando en múltiplos de 3. Si consideramos que uno de ellos es de la forma 3p, otro es de la forma 3q + 1 y otro es de la forma 3r – 1, y los elevamos al cubo, tendremos tres números que serán 27p³, 27q³ + 27q² + 9q + 1 y 27r³ – 27r² + 9r – 1, con lo que la suma será 27p³ + 27q³ + 27q² + 9q + 27r³ – 27r² + 9r = 9(3p³ + 3q³ + 3q² + q + 3r³ – 3r² + r), que claramente es múltiplo de 9.
Si no conoces la manera de elevar al cubo una expresión de este tipo, voy a poner un ejemplo: (3r – 1)³ = (3r – 1)²(3r – 1) = (9r² – 6r + 1)(3r – 1) = 27r³ – 9r² – 18r² + 6r + 3r – 1 = 27r³ – 27r² + 9r – 1.
Hay otra manera sencilla que usaría expresiones modulares. Si consideramos los números módulo 9, tenemos que tres números consecutivos sólo podrían ser de las siguientes formas: 0 – 1 – 2 , 1 – 2 – 3, 2 – 3 – 4, 3 – 4 – 5, 4 – 5 – 6, 5 – 6 – 7, 6 – 7 – 8, 7 – 8 – 0, y 8 – 0 – 1 (9 formas). Si elevamos al cubo cada uno de los 8 posibles números (módulo 9), tendríamos que 0 da 0, 1 da 1, 2 da 8, 3 da 0, 4 da 1, 5 da 8, 6 da 0, 7 da 1 y 8 da 8, de forma que vemos que tres números consecutivos da una suma de 0 + 1 + 8 = 0, módulo 9.
Las operaciones con módulos funcionan de la siguiente forma: si multiplicamos 7 por 7, normalmente daría 49, pero módulo 9 da 4, ya que 49 = 45 + 4 = 9·5 + 4. Así que 7·7·7 módulo 9 da 4·7, que debería dar 28, lo que equivale a 1 módulo 9, ya que 28 = 3·9 + 1.
Una manera asequible a este nivel de trabajar con módulos es expresar por ejemplo un número como (·9) + a. La expresión (·9) simboliza a uno de los múltiplos de 9. Así, podríamos por ejemplo probar que ((·9) + 7)((·9) + 7) = (·9) + 49 = (·9) + 5·9 + 4 = (·9) + 4.
En realidad, lo más habitual es representar los múltiplos de 9 con un punto sobre el 9, pero no sé como escribir eso en el blog.
Si tenemos cierta facilidad con números negativos podemos aprovechar el hecho de que, módulo 9, 8 equivale a -1, 7 equivale a -2, 6 equivale a -3 y 5 equivale a -4.
Otra manera de probarlo sería por inducción. Está claro que 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 es múltiplo de 9. supongamos que x³ + (x + 1)³ + (x + 2)³ es múltiplo de 9. ¿Qué podríamos afirmar de (x + 1)³ + (x + 2)³ + (x + 3)³? Si nos fijamos bien, la diferencia entre las dos expresiones es (x + 3)³ – x³, que podemos expresar como x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ = 9x² + 27x + 27 = 9·(x² + 3x + 3), que claramente es un múltiplo de 9, de forma que está claro que (x + 1)³ + (x + 2)³ + (x + 3)³ es también un múltiplo de 9.
