Problema 3 del nivel B de la Olimpiada Autonómica de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

David tiene baldosas que tienen forma de triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm.

¿Podrá David combinar las baldosas, sin dejar ningún espacio ni superponerlas para formar un rectángulo de lados 2016 cm por 2021 cm?

¿Cuántas baldosas necesitará?

Solución:

Es sencillo ver que esas baldosas tienen forma de triángulo rectángulo, ya que 3² + 4² = 5². Su área, por tanto, es de 6 cm², y si dividimos 2016·2021 entre 6 tendremos el número de baldosas necesarias en cualquier caso, 679056 baldosas.

El problema es ver cómo podríamos hacerlo sin romper ninguna.

La clave es que usando dos de estas baldosas se puede formar un rectángulo de lados 3 y 4 centímetros.

Si ponemos sobre el lado del rectángulo que tiene 2016 cm una tira de rectángulos que se apoyen sobre ese lado con su lado de 4 cm caben exactamente, y dejan 2021 – 3 = 2018 centímetros en el otro lado por cubrir.

Si repetimos el proceso tres veces, quedará sin cubrir un rectángulo que en todavía tendrá un lado de 2016 centímetros, mientras que el otro lado medirá 2021 – 9 = 2012 centímetros.

Evidentemente, puesto que 2012 = 503·4 y 2016 = 672·3, podemos colocar de forma rectangular bloques rectangulares de 4×3, de forma que haya 503 por 672 y tendremos cubierto el recángulo completamente, aunque tendrá 3 filas en un sentido y el resto en otro.

Y, como habíamos predicho inicialmente, tendremos 503·672·2 + 504·3·2 = 679056 baldosas triangulares situadas.