Problema 1 del concurso Olitele 2022
Se dirige a una edad de: 16-17 años

¿Cuántos naturales de 8 cifras hay que tengan todas las cifras diferentes y distintas de 0 y que sean múltiplos de 75?

Solución:

Requiere ciertos conocimientos de combinatoria y divisibilidad.

Puesto que debe ser múltiplo de 75, debe ser múltiplo de 25 y de 3.

Al ser múltiplo de 25, sólo puede acabar en 25 o en 75 (los demás llevan algún 0).

Y para ser múltiplo de 3, entre las 8 cifras diferentes deben sumar un múltiplo de 3. Como las 9 de las que disponemos suman 45, sólo podemos quitar un 3, un 6 o un 9.

Por lo tanto, podemos quitar una de 3 cifras.

Elegimos la terminación entre 2 opciones.

Y después ordenamos los 6 dígitos restantes de alguna de las formas posibles. Como ninguno de ellos es 0, no hay que preocuparse por la primera cifra.

Por lo tanto, la cantidad de posibilidades es 3·2·6! = 3·2·6·5·4·3·2·1 = 4320.