Problema 2 del nivel B de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Paula juega con tres palillos de la misma longitud.

Une dos de ellos formando una línea recta. El extremo del tercero lo coloca en el punto de unión de los dos anteriores.

Demuestra que si unes los tres extremos libres de los palillos, el triángulo que se dibuja siempre es un triángulo rectángulo, se coloque el tercer palillo como se coloque.

Solución:

Se puede hacer de varias formas, la que menos recursos necesita conocer es descomponer la figura en dos triángulos isósceles debido a que los palillos tienen la misma longitud.

Como los dos palillos que forman una recta tienen entre ellos 180º, los dos ángulos potencialmente diferentes de los dos triángulos equiláteros suman 180º, es decir, si uno de llos es x, el otro es 180 – x.

Si queremos calcular los ángulos que son iguales en cada uno de los triángulos equiláteros, en un caso será (180 – x)/2 = 90 – x/2, y en el otro cada uno valdrá (180 – 180 + x)/2 = x/2.

Por lo tanto, la suma de ambos ángulos será 90º, y por eso formarán un ángulo recto.

Si se hace en un caso concreto, en seguida se pueden obtener relaciones entre los ángulos y realizar el álgebra necesaria.

Otra forma de representarlo es puramente geométrica, si conocemos que el ángulo que se forma en un punto de la circunferencia al unir dos puntos cualesquiera de la circunferencia es la mitad que el ángulo central.

Y como el ángulo central al unir los puntos que forman una línea recta es 180º, pues el ángulo en el otro punto es la mitad, es decir, 90º.