Problema 3 del nivel C de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana
Se dirige a una edad de: 10-11 años

¿Cuántos triángulos isósceles, distintos, se pueden formar, de manera que las longitudes de sus lados sean números enteros, y su perímetro sea 25?

Solución:

Se trata de un problema de conteo, el tamaño mayor posible para los lados iguales es 12, siendo el lado desigual 1. También es posible que los lados iguales midan 11 (y el desigual 3), o 10, o 9, pero si los lados iguales miden 8, el desigual debe medir 9 (aún es posible), si miden 7, el desigual 11, y es imposible que los iguales midan 6, porque en ese caso el desigual debería medir más que la suma de los dos iguales y eso es imposible.

Resumiendo, hay 6 triángulos posibles:

12 – 12 – 1

11 – 11 – 3

10 – 10 – 5

9 – 9 – 7

8 – 8 – 9

7 – 7 – 11

También es posible razonarlo a partir del lado desigual, que claramente tiene que ser impar para que los otros dos sean enteros e iguales.