Problema 1 del concurso Marató de problemes 2024
Se dirige a una edad de: 14-15 años

Julián y Juia tienen el encargo de multiplicar dos números primos diferentes, cada uno de dos cifras, uno es el 31 y el otro lo indicamos como ab.

Julia ha multiplicado correctamente 31·ab pero en Julián se ha equivocado y el segundo número lo ha escrito con las cifras cambiadas de orden, es decir, que ha multiplicado 31·ba y en principio no se ha dado cuenta del despiste porque casualmente también multiplicaba dos números primos.

El resultado de Julia es 558 unidades más grande que el de Julián.

¿Cuál es el número que ha usado correctamente Juliana?

Solución:

Si invertimos las cifras de un número pasamos, de 10a + b, a 10b + a, y al multiplicarlos obtendremos, respectivamente 310a + 31b o bien 310b – 31a. La diferencia, ya que sabemos que el primero es mayor, es de 279a – 279b = 279(a – b).

Puesto que la información que nos dan es que esta diferencia es de 558 unidades, que es exactamente es doble de 279, lo que nos están diciendo es que a es 2 unidades mayor que b.

Puesto que tanto ab como ba son primos, ambos sólo pueden ser las cifras 1, 3, 7, y 9, ya que las demás ocasionan que uno de los dos números al menos sea compuesto, al ser divisible por 2 o por 5.

Por todas estas circunstancias, sólo puede darse que, o bien b = 1 y a = 3, o bien b = 7 y a = 9.

Puesto que en el primer caso no se trataría de primos diferentes de 31, debe ser que el número primo que usó Julia es el 97.

De esta forma, observamos que 97·31 – 79·31 = 558.