Problema 1 del nivel B de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2024
Se dirige a una edad de: 14 -15 años

Entre dos tenderos del Mercado Central de Alicante llevan al mercado 100 tomates.

Uno tiene más mercancía que el otro, pero ambos obtienen el mismo dinero al venderlo.

Si el primero los hubiese vendido al precio del segundo, habría ganado 45€, y si el segundo los hubiese vendido al precio del primero, habría ganado 20€. ¿Cuántos tomates tenía cada uno?

Solución:

Si lo planteamos como un problema de ecuaciones, tenemos cuatro incógnitas, T1, los tomates del primero, y T2, los tomates del segundo, P1, el precio al que los ha vendido el primero, y P2, el precio al que los ha vendido el segundo.

Nos dicen que T1 + T2 = 100, que T1P1 = T2P2, que T1P2 = 45 y que T2P1 = 20. Puesto que T1= 45/P2 y T2 = 20/P1, tenemos en las otras dos ecuaciones que 45/P2 + 20/P1= 100 y que 45P1/P2 = 20P2/P1.

Esta última ecuación, quitando denominadores nos dice que 45P1² = 20P2², por lo que 9PI² = 4P2².

Como todo son números positivos, 3PI = 2P2, es decir, P2 = 1.5P1.

Si en la otra ecuación quitamos denominadores nos queda que 45P1 + 20P2 = 100P1P2, es decir que 45P1 + 30P1 = 150P1², por lo que 75P1 = 150P1², o también que 1 = 2P1, por lo que P1 = ½€ el tomate.

Eso quiere decir que P2 = ¾ € el tomate, Por lo que T1 = 60 tomates y T2 = 40 tomates.

Podemos comprobar que, en efecto, con estos precios y cantidades, se satisface el enunciado.