Problema 4 de la Fase Nacional de la L Olimpiada Matemática Española (2014) Se dirige a una edad de: 16-17 años
La sucesión {xn} para n entero positivo, definida por x1 = 2 y xn + 1 = 2(xn)³ + xn para todo n mayor o igual que 1.
Determina la mayor potencia de 5 que divide al número (x2014)² + 1.
Solución:
He vuelto a ver este problema, y he revisado y no lo he subido a ningún blog. Me ha parecido que enseña varias ideas apropiadas para esta competición.
El primer paso es experimentar. Claramente, x₂ = 18, pero el siguiente número es un poco más difícil de calcular, ya que x₃ = 11682, y sin calculadora requiere demasiado trabajo.
Además, el exponente de 5 que hay que calcular es el que divide, no a los términos de la sucesión, si no a su cuadrado más 1. Para el primer término, el cuadrado más 1 es claramente 5, luego la potencia que lo divide es 5, mientras que para el segundo, el cuadrado más 1 es 325, al que lo divide la potencia 5² pero no 5³, por lo que la mayor potencia que lo divide es 2.
El tercer término probablemente sea complicado calcularlo a mano, ya que sería 136 469 125, que es divisible por 5³ pero no por 5⁴. Luego es 3, pero no es factible hacerlo sin apoyo técnico.
La hipótesis que podemos hacer al ver lo que pasa en los dos primeros términos es que cada término de la sucesión aporta un factor a (xn)² +1 que es divisible una vez por 5, con lo que la potencia que divide al número pedido es 5²⁰¹⁴, y no mayor.
Y la forma adecuada de demostrarlo es la inducción, ya que tenemos probado que es cierto para n = 1 (e incluso para n = 2), y vamos a ver que, si es cierto para un valor n, también lo es para n + 1, ya que la secuencia se define por inducción.
Supongamos entonces que la mayor potencia de 5 que divide a (xn)² + 1 es n.
Tratemos de estudiar cómo construimos el término siguiente.
El término de la sucesión se calcula con la primera fórmula, es decir, 2(xn)³ + xn, que aparentemente no tiene nada que ver con la fórmula que tenemos en la hipótesis de inducción, pero el número que tenemos que estudiar es su cuadrado más uno, es decir, 4(xn)⁶ + 4(xn)⁴ + (xn)² + 1, que sí que tiene elementos muy similares. De hecho, ese número lo podemos escribir como 4(xn)⁴((xn)² + 1) + (xn)² + 1, es decir, que podemos escribirlo como (4(xn)⁴ + 1)((xn)² + 1) y por tanto es producto de dos números, y uno de ellos es exactamente del que sabemos una cosa: que es divisible por exactamente 5n, pero no por ningún 5 más.
Basta, por tanto, ver que el otro factor, 4(xn)⁴ + 1, es divisible una única vez por 5, y no más.
El reto es escribir ese número en función del que ya teníamos, (xn))² + 1. Hay varias formas de hacerlo, una de ellas es multiplicar nuestro número por 4(xn)² y restarlo del objetivo, a ver cuánto nos falta. Y el resultado es -4(xn)² + 1. Si ahora multiplicamos nuestro número por -4 y lo restamos del objetivo obtenemos… ¡5!
Y eso quiere decir que 4(xn)⁴ + 1 = ((xn)² + 1)(4(xn)² – 4) + 5. Por lo tanto es múltiplo de 5, pero no de 5². Ya que el factor es al menos múltiplo dos veces de 5, y por tanto al sumarle un 5, no puede ser múltiplo más que una vez de 5.
Sin embargo, el razonamiento podría fallar en el paso de x₁ a x₂, ya que en el caso de n = 1 sólo es múltiplo una vez de 5. Afortunadamente este caso se ha comprobado a mano, pero es claramente necesario hacerlo. Al menos, darse cuenta de que para el caso x₁ el valor es exactamente (2² + 1)(4·2² – 4) = 60 + 5 = 65, con lo que claramente sólo es múltiplo de 5, y no de 5².