Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Matemática Española (2025)
Se dirige a una edad de: 16-17 años

Consideramos una lista con los números 0, 1 y raíz(3).

De forma sucesiva, se va aplicando la siguiente operación: se escoge uno de los tres números de la lista y se le añade un múltiplo racional arbitrario de la diferencia entre los otros dos.

Repitiendo este proceso, ¿es posible conseguir que los tres números de la lista sean 0, raíz(3) − 1 y raíz(3) + 1?

Solución:

Se trata esta vez de un problema más complejo de lo que parece.

Si trasteamos un poco según nos dice el enunciado, es rápido ver que los tres números acabarán siendo de la forma a + b·raíz(3) para algún b.

La idea es que probemos qué valores de a y b son válidos, y qué tipo de transformación ocurre en cada momento, ya que si hay algún invariante (algo que después de la transformación permanece constante), entonces podemos encontrar una forma de llegar lo más cerca posible, o bien demostrar que no es posible.

Por tanto escribamos los tres números de la forma (a, b), con a y b números racionales, y podemos representarlos todo el rato con este formato.

Inicialmente empezamos con (0,0), (1,1), (0,1), y la idea es que las transformaciones (por ejemplo, sumar a (1,0) ⅔ de la diferencia), los convierten en otras coordenadas, como (0,0), (1,2/3), (0,1).

Si pensamos en coordenadas, sumar a un número un múltiplo de la diferencia de dos, es un vector que tiene la misma dirección, es decir, que el punto al que sumamos lo estamos llevando en la dirección del vector que forman los otros dos.

Vemos un ejemplo gráfico.

Es un poco rebuscado, pero podemos ver que pasamos del triángulo inicial (línea continua) a un segundo triángulo formado por una línea continua y dos discontinuas, y luego a otro formado por una línea discontinua y dos de puntitos.

Y esos tres triángulos tienen una cosa en común: el área, ya que hay un lado (que puede hacer de base, y el vértice se desplaza de forma paralela a esa base, es decir, la altura no varía).

Incluso se puede conseguir una fórmula para ese área, y comprobar que al sumar no varía. Aplicando, por ejemplo, el producto vectorial, podríamos determinar que el área del triángulo (a, b), (c, d), (h, e) sería (abs(ad + ce + bh – ae – bc – dh))/2. Si sumamos a uno de ellos, por ejemplo a (a, b), x por la diferencia de (c, d) menos (h, e), tendríamos (a + x(c – h), b + x(d – e)), y el área de los tres sería abs((ad + xd(c – h) + ce + bh + xh(d – e) – ae – xe(c – h) – bc – xc(d – e) – dh))/2 = abs((ad + xdc – xdh + ce + bh + xhd – xhe – ae – xec + xeh – bc – xcd + xce – dh))/2 = abs((ad + ce + bh – ae – bc – dh))/2, que es el área inicial. Por tanto, en efecto, es un invariante.

Ni siquiera sería imprescindible hablar de áreas, podríamos dar la fórmula, y demostrar que es un invariante.

El caso es que, puesto que inicialmente nuestro triángulo tiene área ½, es fácil ver que TODAS las ternas de números que podemos conseguir formarán, en esas coordenadas, un triángulo de área ½.

Sin embargo, el triángulo al que queremos llegar (0,0), (-1,1) y (1, 1) tiene área 1, por lo que es imposible conseguirlo.

Si hubiesen elegido un estado final de área ½, fácilmente podríamos haber encontrado un método de poner uno de los puntos sobre la línea de la base, luego el otro, y llevar el tercero a la posición adecuada, es decir, nos habría permitido crear una estrategia para resolver el problema.